Analyse: Ölpanne mit Hintergrundbelastung
Ein Baggersee wird nach einer Ölpanne beobachtet. Die Schadstoffkonzentration wird für t≥0 (t in Jahren seit dem Unfall) durch C(t)=20·e^(−0,08t)+3 in mg/L modelliert. Der Term 20·e^(−0,08t) beschreibt den abbaubaren Überschuss, der Summand 3 eine Hintergrundbelastung aus alten Einträgen. Die Umweltbehörde verlangt: (i) Die Konzentration muss innerhalb von 20 Jahren unter 5 mg/L liegen. (ii) Die langfristige Hintergrundbelastung muss unter 2 mg/L bleiben. Ein Gutachten schlägt einen Filter vor, der den anfänglichen Überschuss um 60 % reduziert, also C_neu(t)=8·e^(−0,08t)+3. Ein Gemeinderatsmitglied behauptet, damit seien beide Ziele sicher erreichbar. Prüfe diese Aussage und begründe, welche Modellgröße gegebenenfalls verändert werden muss. Die Verwaltung möchte außerdem wissen, ob eine Änderung der Anfangsbelastung allein grundsätzlich ausreichen kann, falls der Filter nur den Überschuss beeinflusst.
1. Berechne den Zeitpunkt, ab dem im ursprünglichen Modell C(t)<5 mg/L gilt, und beurteile damit Ziel (i).
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Gleichung lösen: 20·e^(−0,08t)+3=5 ⇒ e^(−0,08t)=0,1 ⇒ −0,08t=ln(0,1) ⇒ t=ln(10)/0,08≈28,8 Jahre. Da C streng fällt, gilt C(t)<5 erst ab etwa 28,8 Jahren. Nach 20 Jahren ist C(20)=20·e^(−1,6)+3≈7,04 mg/L. Ziel (i) ist mit dem ursprünglichen Modell also nicht erfüllt; die Frist wird um knapp 9 Jahre überschritten.
2. Prüfe, ob der vorgeschlagene Filter Ziel (i) erreicht und ob er Ziel (ii) erreichen kann.
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Mit C_neu: 8·e^(−0,08t)+3=5 ⇒ e^(−0,08t)=0,25 ⇒ t=ln(4)/0,08≈17,3 Jahre. Ziel (i) wäre damit nach ca. 17,3 Jahren erreicht. Für Ziel (ii) gilt aber lim C_neu=3 mg/L; die Hintergrundbelastung bleibt 3>2. Der Filter reduziert nur den transienten Term und kann die Asymptote nicht ändern. Die Behauptung ist daher nur für Ziel (i) richtig, für Ziel (ii) falsch.
3. Bestimme die größte zulässige Hintergrundkonzentration b (statt 3) bei unverändertem Überschussterm 20·e^(−0,08t), sodass beide Ziele erfüllt sind.
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Ansatz C_b(t)=20·e^(−0,08t)+b. Ziel (ii) verlangt b<2. Ziel (i) verlangt C_b(20)<5, also 20·e^(−1,6)+b<5 ⇒ b<5−20·e^(−1,6)≈5−4,038=0,962. Wegen der strengeren Schranke muss b<0,962 mg/L sein (praktisch b≤0,96). Eine Änderung der Anfangsbelastung allein reicht also nicht; die Hintergrundkonzentration muss von 3 auf unter 0,962 mg/L gesenkt werden, sonst scheitert mindestens eines der Ziele.