Hamburg Abitur Math flashcards

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Ableitung von x^n

Für jede reelle Hochzahl n gilt (x^n)' = n·x^(n−1). Der Faktor n rückt nach vorne, der Exponent wird um eins verringert; gültig für alle x im Definitionsbereich.

Kettenregel

Die Ableitung der Verkettung u(v(x)) ist u'(v(x))·v'(x): äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung. Zentral für e^(kx), sin(2x) und zusammengesetzte Funktionen.

Produktregel

Für ein Produkt zweier differenzierbarer Funktionen gilt (u·v)' = u'·v + u·v'. Man leitet also jeden Faktor einzeln ab und addiert die beiden entstehenden Produkte.

Hinreichendes Kriterium Maximum

Ist f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0, so liegt an der Stelle x₀ ein lokales Maximum vor. Die zweite Ableitung beschreibt dort eine Rechtskrümmung des Graphen.

Wendepunkt

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 gilt. Dort wechselt das Krümmungsverhalten; die Tangente ist die Wendetangente mit Steigung f'(x₀).

Tangentengleichung

Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle a lautet t(x) = f'(a)·(x − a) + f(a). Sie berührt den Graphen in (a|f(a)) mit dessen momentaner Steigung.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Für eine Stammfunktion F von f gilt ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Das bestimmte Integral wird also über die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen berechnet.

Fläche zwischen zwei Graphen

Sind f und g stetig, so ist der Inhalt der Fläche zwischen beiden Graphen über ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx gegeben, wenn f auf dem Intervall oberhalb von g liegt; sonst Betrag nehmen.

Substitutionsregel

Gilt ∫ f(g(x))·g'(x) dx, so ist F(g(x)) mit F' = f eine Stammfunktion. Man erkennt also eine innere Funktion und deren Ableitung als Faktor im Integranden.

Exponentielles Wachstum

Ein Bestand heißt exponentiell wachsend, wenn er durch f(t) = a·e^(kt) mit konstantem k > 0 beschrieben wird. Dann ist die prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit konstant.

Beschränktes Wachstum

Beim beschränkten Wachstum gilt f(t) = S − (S − a)·e^(−kt). Der Bestand nähert sich monoton der Schranke S, die Differenz zur Schranke fällt exponentiell.

Skalarprodukt

Für Vektoren im Raum gilt a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Das Ergebnis ist eine Zahl; sie ist null genau dann, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Betrag eines Vektors

Der Betrag oder die Länge von a⃗ ist |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) = √(a⃗·a⃗). Er misst den Abstand vom Ursprung zum Punkt mit diesem Ortsvektor.

Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel φ zwischen zwei Vektoren erfüllt cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|). Der so berechnete Winkel liegt stets zwischen 0° und 180°.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ ist ein Vektor, der senkrecht auf a⃗ und b⃗ steht. Er liefert Normalenvektoren für Ebenen, die durch zwei Richtungsvektoren aufgespannt werden.

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade im Raum hat die Form g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗. Dabei ist a⃗ ein Stützvektor eines Punktes, u⃗ ein Richtungsvektor und t ein reeller Parameter.

Normalenform einer Ebene

Eine Ebene lässt sich durch n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0 beschreiben, wobei n⃗ senkrecht auf der Ebene steht und a⃗ einen Ebenenpunkt bezeichnet. Ausmultipliziert entsteht die Koordinatenform.

Abstand Punkt zu Ebene

Für eine Ebene mit Normalenvektor n⃗ und Ebenenpunkt a⃗ gilt d = |n⃗·(p⃗ − a⃗)|/|n⃗|. Der Zähler ist der Betrag des Skalarprodukts mit dem Verbindungsvektor.

Hesse-Normalenform

Nach Division durch |n⃗| entsteht (n⃗/|n⃗|)·(x⃗ − a⃗) = 0. Einsetzen eines Punktes liefert dann betragsgleich direkt seinen Abstand zur Ebene.

Lage zweier Geraden

Sind die Richtungsvektoren Vielfache, sind die Geraden parallel oder identisch. Andernfalls entscheidet das Gleichungssystem: genau eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet windschief.

Schnitt Gerade und Ebene

Man setzt den Geradenterm x⃗ = a⃗ + t·u⃗ in die Koordinatenform der Ebene ein und löst nach t auf. Das Einsetzen von t in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt.

Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand windschiefer Geraden ist der Betrag des Skalarprodukts des Verbindungsvektors der Stützpunkte mit dem Einheitsnormalenvektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht.

Stochastische Matrix

Eine quadratische Matrix heißt stochastisch, wenn alle Einträge nichtnegativ sind und jede Spaltensumme eins beträgt. Solche Matrizen beschreiben Übergänge zwischen Zuständen in Prozessen.

Binomialkoeffizient

C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus n Objekten k ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Er tritt als Vorfaktor in der Binomialverteilung auf.

Binomialverteilung

Für n unabhängige Versuche mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). Voraussetzung ist Ziehen mit Zurücklegen beziehungsweise Unabhängigkeit.

Erwartungswert und Standardabweichung

Bei Binomialverteilung gilt μ = n·p und σ = √(n·p·(1−p)). Der Erwartungswert ist die mittlere Trefferzahl, die Standardabweichung ein Maß für deren Streuung.

Mindestens ein Treffer

Für P(X ≥ 1) gilt 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)^n. Das Gegenereignis „kein einziger Treffer“ ist oft deutlich einfacher zu berechnen als die Summe aller übrigen Fälle.

Sigma-Regeln

Bei σ > 3 liegen rund 68,3 % der Ergebnisse in [μ−σ, μ+σ], etwa 95,4 % in [μ−2σ, μ+2σ] und etwa 99,7 % in [μ−3σ, μ+3σ].

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) für P(B) > 0 beschreibt die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Die Bezugsmenge ist dann B.

Unabhängigkeit zweier Ereignisse

Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B) gilt. Gleichwertig dazu ist P(A|B) = P(A) für P(B) > 0.

Satz von Bayes

Es gilt P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A). Damit lässt sich eine bedingte Wahrscheinlichkeit umkehren, wenn die umgekehrte Bedingung und die Randwahrscheinlichkeiten bekannt sind.

Hypergeometrische Verteilung

Beim Ziehen ohne Zurücklegen gilt P(X = k) = C(S,k)·C(N−S,n−k)/C(N,n). Dabei ist N der Umfang, S die Anzahl der Treffer in der Grundgesamtheit und n die Stichprobe.

Fehler erster und zweiter Art

Der Fehler erster Art verwirft eine wahre Nullhypothese, seine Wahrscheinlichkeit ist das Signifikanzniveau α. Der Fehler zweiter Art behält eine falsche Nullhypothese bei, Wahrscheinlichkeit β.