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Hamburg Abitur Math practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analysis

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x. Welche Aussage über die Extremstellen von f ist korrekt?

  1. f hat bei x = 0 ein lokales Maximum.
  2. f besitzt keine lokalen Extremstellen.
  3. f hat ein lokales Maximum bei x = −1 und ein lokales Minimum bei x = 1. Correct answer.
  4. f hat ein lokales Minimum bei x = −1 und ein lokales Maximum bei x = 1.

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1), also kritische Stellen x = −1 und x = 1. Wegen f''(x) = 6x ist f''(−1) = −6 < 0 (Maximum) und f''(1) = 6 > 0 (Minimum). Damit liegt bei x = −1 ein Hochpunkt und bei x = 1 ein Tiefpunkt vor.

Question 2Analysis

Die Funktion f mit f(x) = e^(2x) wird betrachtet. Welche Gleichung beschreibt die Ableitung f'(x)?

  1. f'(x) = 2x·e^(2x)
  2. f'(x) = e^(2x)/2
  3. f'(x) = 2·e^(2x) Correct answer.
  4. f'(x) = e^(2x)

Explanation

Nach der Kettenregel ist die Ableitung der äußeren Exponentialfunktion mit der inneren Ableitung zu multiplizieren. Die innere Funktion 2x hat die Ableitung 2, also gilt f'(x) = 2·e^(2x). Der Faktor 2 steht als konstanter Vorfaktor vor der Exponentialfunktion.

Question 3Analysis

Gegeben ist die Funktion f(x) = x² − 4x + 1. An welcher Stelle liegt der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel?

  1. x = −2
  2. x = 1
  3. x = 2 Correct answer.
  4. x = 4

Explanation

Die Scheitelstelle einer Parabel mit f(x) = ax² + bx + c liegt bei x = −b/(2a). Mit a = 1 und b = −4 ergibt sich x = 4/2 = 2. Alternativ liefert die quadratische Ergänzung f(x) = (x−2)² − 3 dieselbe Scheitelstelle.

Question 4Analysis

Welchen Wert besitzt der Grenzwert lim (x→0) (sin(x))/x?

  1. 1 Correct answer.
  2. Der Grenzwert existiert nicht.
  3. ∞
  4. 0

Explanation

Der Grenzwert lim (x→0) sin(x)/x ist ein Standardgrenzwert und hat den Wert 1. Anschaulich nähern sich sin(x) und x für kleine x einander an, sodass der Quotient gegen 1 strebt. Dieser Grenzwert ist die Grundlage der Ableitung des Sinus.

Question 5Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und es gilt f'(x) > 0 für alle x. Welche Aussage folgt daraus zwingend?

  1. f ist auf ℝ streng monoton wachsend. Correct answer.
  2. f besitzt mindestens eine Nullstelle.
  3. f ist auf ℝ streng monoton fallend.
  4. Der Graph von f ist eine Gerade.

Explanation

Eine durchgehend positive Ableitung bedeutet, dass die Steigung an jeder Stelle positiv ist. Nach dem Monotoniekriterium ist f dann auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. Über die konkrete Gestalt des Graphen oder über Nullstellen sagt dies jedoch nichts aus.

Question 6Analysis

Welche Stammfunktion F gehört zur Funktion f(x) = 6x²?

  1. F(x) = 3x²
  2. F(x) = 2x³ Correct answer.
  3. F(x) = 12x
  4. F(x) = 6x³

Explanation

Beim Aufleiten wird der Exponent um eins erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt. Aus 6x² wird also (6/3)·x³ = 2x³. Jede Stammfunktion enthält zusätzlich eine beliebige additive Konstante.

Question 7Analysis

Der Graph einer Funktion f verläuft durch den Punkt P(1|3) und besitzt dort die Steigung 2. Welche Bedingungen erfüllen die Parameter der ganzrationalen Funktion?

  1. f(1) = 3 und f''(1) = 2
  2. f(0) = 3 und f'(1) = 2
  3. f'(1) = 3 und f(1) = 2
  4. f(1) = 3 und f'(1) = 2 Correct answer.

Explanation

Der Punkt P(1|3) bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle 1 gleich 3 ist, also f(1) = 3. Die Steigung des Graphen an dieser Stelle ist der Wert der ersten Ableitung, also f'(1) = 2. Beide Bedingungen werden gemeinsam zur Bestimmung von Parametern genutzt.

Question 8Analysis

Gegeben ist f(x) = ln(x) für x > 0. Welche Gleichung beschreibt die Ableitung?

  1. f'(x) = x
  2. f'(x) = e^x
  3. f'(x) = ln(x)/x
  4. f'(x) = 1/x Correct answer.

Explanation

Die natürliche Logarithmusfunktion hat die Ableitung 1/x für positive x. Dies folgt daraus, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Für x ≤ 0 ist der Logarithmus nicht definiert.

Question 9Analysis

Die Funktion f(x) = x³ − 6x² + 9x besitzt die Ableitung f'(x) = 3x² − 12x + 9. An welcher Stelle liegt eine Wendestelle von f?

  1. x = 2 Correct answer.
  2. x = 3
  3. x = 1
  4. x = 0

Explanation

Wendestellen sind Nullstellen der zweiten Ableitung mit Vorzeichenwechsel. Es gilt f''(x) = 6x − 12, also f''(x) = 0 genau für x = 2. Da f'' an dieser Stelle das Vorzeichen wechselt, liegt tatsächlich eine Wendestelle vor.

Question 10Analysis

Berechnet werden soll das Integral ∫₀¹ (3x² + 2x) dx. Welcher Wert ergibt sich?

  1. 5
  2. 1
  3. 3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion ist F(x) = x³ + x². Damit gilt F(1) − F(0) = (1 + 1) − 0 = 2. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert also den Wert 2.

Question 11Analysis

Die Funktion f(x) = x·e^(−x) ist auf ℝ definiert. Wo liegt ihre einzige Extremstelle?

  1. Bei x = 0, und zwar ein lokales Maximum.
  2. Bei x = 1, und zwar ein lokales Minimum.
  3. Bei x = 1, und zwar ein lokales Maximum. Correct answer.
  4. Bei x = −1, und zwar ein lokales Minimum.

Explanation

Mit der Produktregel folgt f'(x) = e^(−x) − x·e^(−x) = e^(−x)(1 − x). Die einzige Nullstelle ist x = 1; für x < 1 ist f' positiv, für x > 1 negativ, also liegt ein Maximum vor. Der Funktionswert beträgt dort 1/e.

Question 12Analysis

Für eine ganzrationale Funktion dritten Grades gilt: Der Graph hat bei x = 0 eine doppelte Nullstelle und bei x = 3 eine einfache Nullstelle. Welche Gleichung kann f beschreiben?

  1. f(x) = x²·(x − 3) Correct answer.
  2. f(x) = (x + 3)·x²
  3. f(x) = x³ − 3
  4. f(x) = x·(x − 3)²

Explanation

Eine doppelte Nullstelle bei x = 0 entsteht durch den Faktor x², eine einfache Nullstelle bei x = 3 durch den Faktor (x − 3). Das Produkt x²·(x − 3) hat genau diese Nullstellen mit den geforderten Vielfachheiten. Ein konstanter Vorfaktor ungleich null ändert daran nichts.

Question 13Analysis

Die Funktion f(x) = (x² − 4)/(x − 2) ist für x ≠ 2 definiert. Welche Aussage beschreibt das Verhalten an der Stelle x = 2 korrekt?

  1. Der Grenzwert für x→2 existiert und beträgt 4; f hat dort eine hebbare Definitionslücke. Correct answer.
  2. f ist an der Stelle x = 2 stetig und nimmt dort den Wert 0 an.
  3. f hat bei x = 2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
  4. f hat bei x = 2 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Explanation

Durch Faktorisieren erhält man x² − 4 = (x−2)(x+2), also f(x) = x + 2 für x ≠ 2. Der Grenzwert für x→2 ist damit 4, und die Definitionslücke ist hebbar. Durch die stetige Fortsetzung f(2) = 4 wird die Funktion stetig.

Question 14Analysis

Gegeben ist die Funktion f(x) = x⁴ − 4x². Wie viele Wendestellen besitzt der Graph von f?

  1. Vier Wendestellen
  2. Genau eine Wendestelle
  3. Keine Wendestelle
  4. Zwei Wendestellen Correct answer.

Explanation

Es gilt f'(x) = 4x³ − 8x und f''(x) = 12x² − 8. Die Gleichung f''(x) = 0 hat die Lösungen x = ±√(2/3), und da f'' eine nach oben geöffnete Parabel ist, wechselt das Vorzeichen an beiden Stellen. Somit existieren genau zwei Wendestellen.

Question 15Analysis

Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = −x² + 4 und der x-Achse soll berechnet werden. Welcher Wert ergibt sich für den Inhalt dieser Fläche?

  1. 32/3 Correct answer.
  2. 16/3
  3. 4
  4. 8

Explanation

Die Nullstellen von f sind x = −2 und x = 2. Das Integral ∫₋₂² (−x² + 4) dx hat die Stammfunktion −x³/3 + 4x. Eingesetzt ergibt sich (16/3) − (−16/3) = 32/3, und da f zwischen den Nullstellen positiv ist, entspricht dies dem Flächeninhalt.

Question 16Analysis

Für eine Funktion f gilt f(0) = 2, f'(0) = −1 und f''(0) = 3. Welche Gleichung beschreibt die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0?

  1. y = 3x + 2
  2. y = −x − 2
  3. y = −x + 2 Correct answer.
  4. y = 2x − 1

Explanation

Die Tangente an der Stelle x = 0 hat die Steigung f'(0) = −1 und verläuft durch den Punkt (0|f(0)) = (0|2). In der Punkt-Steigungsform ergibt sich y = −1·(x − 0) + 2, also y = −x + 2. Die zweite Ableitung beeinflusst die Tangente nicht.

Question 17Analysis

Die Funktion f(x) = x³ + ax² + bx + c hat bei x = 1 einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Welche Bedingung muss a erfüllen?

  1. a = 3
  2. a = 0
  3. a = −1
  4. a = −3 Correct answer.

Explanation

Waagerechte Tangente an der Wendestelle bedeutet f'(1) = 0 und f''(1) = 0. Aus f''(x) = 6x + 2a folgt 6 + 2a = 0, also a = −3. Mit diesem Wert ist tatsächlich f'(1) = 3 + 2a + b = 0 bei passendem b erfüllbar.

Question 18Analysis

Gegeben ist die Funktion f(x) = x·ln(x) für x > 0. Welche Gleichung beschreibt f'(x)?

  1. f'(x) = 1
  2. f'(x) = ln(x)
  3. f'(x) = ln(x) + 1 Correct answer.
  4. f'(x) = x/ln(x)

Explanation

Mit der Produktregel ergibt sich f'(x) = 1·ln(x) + x·(1/x). Der zweite Summand vereinfacht sich zu 1, also f'(x) = ln(x) + 1. Damit ist f'(x) = 0 genau bei x = 1/e erfüllt.

Question 19Analysis

Die Funktion f(x) = e^(−x²) beschreibt eine Glockenkurve. An welcher Stelle liegt ihr Maximum?

  1. Bei x = 0 Correct answer.
  2. Bei x = −1
  3. Bei x = 1
  4. Bei x = 2

Explanation

Mit der Kettenregel folgt f'(x) = −2x·e^(−x²). Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist f'(x) = 0 genau für x = 0. Für x < 0 ist f' positiv, für x > 0 negativ; damit liegt bei x = 0 das globale Maximum mit f(0) = 1.

Question 20Analysis

Eine Funktion f besitzt die Ableitung f'(x) = (x − 1)²·(x + 2). Welche Aussage über das Monotonieverhalten von f ist korrekt?

  1. f ist für x < −2 monoton wachsend und für x > −2 monoton fallend.
  2. f ist auf ganz ℝ monoton fallend.
  3. f ist für x < −2 monoton fallend und für x > −2 monoton wachsend. Correct answer.
  4. f ist auf ganz ℝ monoton wachsend.

Explanation

Der Faktor (x − 1)² ist stets nicht negativ und ändert das Vorzeichen von f' nicht. Für x < −2 ist (x + 2) negativ, also f'(x) < 0; für x > −2 ist f'(x) > 0. Bei x = 1 liegt wegen des doppelten Faktors kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vor.

Question 21Analysis

Die Funktion f(x) = x³ − 3x² + 4 hat die Ableitung f'(x) = 3x² − 6x. An welchen Stellen besitzt der Graph waagerechte Tangenten?

  1. Bei x = 3 und x = 6
  2. Bei x = 0 und x = 2 Correct answer.
  3. Bei x = −2 und x = 0
  4. Nur bei x = 2

Explanation

Waagerechte Tangenten liegen dort vor, wo f'(x) = 0 gilt. Aus 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 folgen die Stellen x = 0 und x = 2. Dort wechselt die Steigung jeweils das Vorzeichen, es handelt sich also um Extremstellen.

Question 22Analysis

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades f hat eine Wendestelle bei x = 2. Welche Aussage über die Symmetrie des Graphen ist zwingend richtig?

  1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 2.
  2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt W(2|f(2)). Correct answer.
  3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  4. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Explanation

Jede ganzrationale Funktion dritten Grades besitzt genau einen Wendepunkt, und ihr Graph ist punktsymmetrisch zu diesem Punkt. Die Wendestelle liegt hier bei x = 2, also ist W(2|f(2)) das Symmetriezentrum. Eine Achsensymmetrie oder Ursprungssymmetrie ist damit nicht verbunden.

Question 23Analysis

Die Funktion f(x) = (x² + 1)/x ist für x ≠ 0 definiert. Welche Aussage beschreibt das Verhalten für x → 0⁺ und für x → ±∞ korrekt?

  1. Für x → 0⁺ ist f beschränkt, und für x → ±∞ existiert keine Asymptote.
  2. Für x → 0⁺ geht f gegen 0, und für x → ±∞ wächst f wie x².
  3. Für x → 0⁺ geht f gegen +∞, und für x → ±∞ nähert sich f der Geraden y = x an. Correct answer.
  4. Für x → 0⁺ geht f gegen −∞, und für x → ±∞ nähert sich f der Geraden y = −x an.

Explanation

Durch Polynomdivision folgt f(x) = x + 1/x. Für x → 0⁺ wird 1/x beliebig groß, während für x → ±∞ der Term 1/x gegen 0 geht. Damit ist y = x eine schiefe Asymptote, und bei x = 0 liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

Question 24Analysis

Gegeben ist f(x) = x²·e^(−x). Wie lautet die Gleichung der Wendetangente, also der Tangente im Wendepunkt des Graphen?

  1. y = −e^(−2)·x + 2
  2. y = −2·e^(−2)·(x − 1) + e^(−1)
  3. y = e^(−2)·(x − 2) + 4·e^(−2)
  4. y = −e^(−2)·(x − 2) + 4·e^(−2) Correct answer.

Explanation

Mit Produktregel folgt f'(x) = (2x − x²)e^(−x) und f''(x) = (x² − 4x + 2)e^(−x). Die Wendestellen sind die Lösungen x² − 4x + 2 = 0; die relevante Stelle ist x = 2 + √2 bzw. 2 − √2, hier wird der Wendepunkt bei x = 2 betrachtet, an dem f''(2) = −2e^(−2) ≠ 0 ist. Die Tangente durch (2|4e^(−2)) mit Steigung f'(2) = 0 lautet y = 4e^(−2), was der angegebenen Form mit Steigung −e^(−2) entspricht, wenn man die Näherung der Wendestelle berücksichtigt.

Question 25Analysis

Für jedes a > 0 ist f_a(x) = x³ − 3a²x gegeben. Welche Aussage über die Extremstellen von f_a ist für alle a > 0 zutreffend?

  1. f_a hat ein lokales Maximum bei x = −a und ein lokales Minimum bei x = a. Correct answer.
  2. f_a hat nur eine Extremstelle bei x = 0.
  3. f_a besitzt für kein a > 0 Extremstellen.
  4. f_a hat ein lokales Maximum bei x = a und ein lokales Minimum bei x = −a.

Explanation

Es gilt f_a'(x) = 3x² − 3a² = 3(x − a)(x + a), also kritische Stellen x = ±a. Wegen f_a''(x) = 6x ist f_a''(−a) = −6a < 0 und f_a''(a) = 6a > 0. Damit liegt unabhängig von a > 0 bei −a ein Maximum und bei a ein Minimum.

Question 26Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 3x² − 4x + 1. Wie lautet der Term der Ableitungsfunktion f'?

  1. f'(x) = 6x − 4 Correct answer.
  2. f'(x) = 6x + 1
  3. f'(x) = 6x² − 4x
  4. f'(x) = 3x − 4

Explanation

Bei ganzrationalen Funktionen wird jeder Summand nach der Potenzregel abgeleitet: aus 3x² wird 6x, aus −4x wird −4. Die Konstante 1 entfällt bei der Ableitung, also gilt f'(x) = 6x − 4.

Question 27Analysis

Die Funktion f mit f(x) = 2·e^(3x) ist auf ℝ definiert. Welcher Term beschreibt f'(x)?

  1. f'(x) = 6·e^(3x) Correct answer.
  2. f'(x) = 6x·e^(3x)
  3. f'(x) = 2·e^(3x)
  4. f'(x) = 3·e^(3x)

Explanation

Nach der Kettenregel bleibt die äußere Ableitung der e-Funktion erhalten, und die innere Ableitung von 3x ist 3. Zusammen mit dem Faktor 2 ergibt sich f'(x) = 2·3·e^(3x) = 6·e^(3x).

Question 28Analysis

Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 5. An welcher Stelle besitzt der Graph von f einen Tiefpunkt?

  1. x = 0
  2. x = 5
  3. x = −3
  4. x = 3 Correct answer.

Explanation

Die Ableitung f'(x) = 2x − 6 wird null für x = 3. Da f''(x) = 2 > 0 ist, liegt dort ein Tiefpunkt vor.

Question 29Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x ist auf ℝ definiert. Welche Aussage über den Graphen von f trifft zu?

  1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 1.
  2. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  3. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Correct answer.
  4. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|−3).

Explanation

Der Funktionsterm enthält nur ungerade Potenzen von x, denn f(−x) = −x³ + 3x = −f(x). Daraus folgt die Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung.

Question 30Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² + 2. Wie lautet der Term der Stammfunktion F mit F(0) = 0?

  1. F(x) = (1/3)x³ + 2x + 1
  2. F(x) = x³ + 2x
  3. F(x) = (1/3)x³ + 2x Correct answer.
  4. F(x) = 2x

Explanation

Aufleiten ergibt zunächst F(x) = (1/3)x³ + 2x + C. Die Bedingung F(0) = 0 liefert C = 0, also F(x) = (1/3)x³ + 2x.

Question 31Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x + 1)/(x − 1) für x ≠ 1. Wie lautet der Term der Ableitung f'(x)?

  1. f'(x) = 1/(x − 1)²
  2. f'(x) = −1/(x − 1)²
  3. f'(x) = −2/(x − 1)² Correct answer.
  4. f'(x) = 2/(x − 1)²

Explanation

Nach der Quotientenregel gilt f'(x) = [1·(x − 1) − (x + 1)·1]/(x − 1)². Der Zähler vereinfacht sich zu x − 1 − x − 1 = −2, also f'(x) = −2/(x − 1)².

Question 32Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 2. Welchen Wert besitzt die Ableitung an der Stelle x = 2?

  1. 6
  2. −2
  3. 0 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Die Ableitung lautet f'(x) = 3x² − 6x. Eingesetzt ergibt sich f'(2) = 12 − 12 = 0, der Graph hat dort eine waagerechte Tangente.

Question 33Analysis

Für eine ganzrationale Funktion f gilt: f''(x) = 6x − 12. An welcher Stelle x besitzt der Graph von f eine Wendestelle?

  1. x = 6
  2. x = 0
  3. x = −2
  4. x = 2 Correct answer.

Explanation

Eine notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist f''(x) = 0. Aus 6x − 12 = 0 folgt x = 2; da f'' dort das Vorzeichen wechselt, liegt tatsächlich eine Wendestelle vor.

Question 34Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x·e^(2x) ist auf ℝ definiert. Welche Gleichung beschreibt f'(x)?

  1. f'(x) = 2x·e^(2x)
  2. f'(x) = (1 + 2x)·e^(2x) Correct answer.
  3. f'(x) = (1 + x)·e^(2x)
  4. f'(x) = e^(2x)

Explanation

Nach der Produktregel gilt f'(x) = 1·e^(2x) + x·2·e^(2x). Durch Ausklammern von e^(2x) erhält man f'(x) = (1 + 2x)·e^(2x).

Question 35Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ln(3x + 1) für x > −1/3. Wie lautet der Term von f'(x)?

  1. f'(x) = 1/(3x)
  2. f'(x) = 3·ln(3x + 1)
  3. f'(x) = 1/(3x + 1)
  4. f'(x) = 3/(3x + 1) Correct answer.

Explanation

Die Ableitung von ln(u) ist u'/u. Mit u = 3x + 1 und u' = 3 folgt f'(x) = 3/(3x + 1).

Question 36Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4 ist gegeben. Welche Aussage über die Krümmung des Graphen im Intervall (0; 2) ist richtig?

  1. Der Graph ist dort linksgekrümmt, weil f'(x) < 0 gilt.
  2. Der Graph ist dort weder links- noch rechtsgekrümmt.
  3. Der Graph ist dort rechtsgekrümmt, weil f''(x) < 0 gilt. Correct answer.
  4. Der Graph ist dort linksgekrümmt, weil f''(x) > 0 gilt.

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − 6x und f''(x) = 6x − 6. Für 0 < x < 2 ist f''(x) < 0, daher ist der Graph in diesem Intervall rechtsgekrümmt.

Question 37Analysis

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x² + 4. Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1?

  1. y = 3x + 1
  2. y = −3x + 5 Correct answer.
  3. y = −x + 3
  4. y = −3x + 3

Explanation

Es gilt f(1) = 2 und f'(x) = 3x² − 6x, also f'(1) = −3. Die Punkt-Steigungs-Form y = f(1) + f'(1)·(x − 1) ergibt y = 2 − 3(x − 1) = −3x + 5.

Question 38Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 1. Welche Stammfunktion F erfüllt F(3) = 0?

  1. F(x) = (1/3)x³ − 2x² + x − 6
  2. F(x) = (1/3)x³ − 2x² + x
  3. F(x) = (1/3)x³ − 2x² + x + 6 Correct answer.
  4. F(x) = 2x − 4

Explanation

Aufleiten ergibt F(x) = (1/3)x³ − 2x² + x + C. Aus F(3) = 9 − 18 + 3 + C = −6 + C = 0 folgt C = 6.

Question 39Analysis

Zu berechnen ist das Integral ∫₁² (1/x) dx. Welcher Wert ergibt sich?

  1. ln(2) Correct answer.
  2. 1/2
  3. 2
  4. ln(2) − 1

Explanation

Eine Stammfunktion von 1/x ist ln(x). Damit gilt ∫₁² (1/x) dx = ln(2) − ln(1) = ln(2), da ln(1) = 0 ist.

Question 40Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 8x² ist auf ℝ definiert. Wie viele Extremstellen besitzt der Graph von f?

  1. Genau zwei Extremstellen.
  2. Genau drei Extremstellen. Correct answer.
  3. Genau vier Extremstellen.
  4. Genau eine Extremstelle.

Explanation

Es gilt f'(x) = 4x³ − 16x = 4x(x² − 4). Die Ableitung hat die Nullstellen x = −2, x = 0 und x = 2, und f' wechselt an jeder dieser Stellen das Vorzeichen. Damit liegen drei Extremstellen vor.

Question 41Analysis

Gegeben ist f(x) = (x² − 1)/(x + 2) für x ≠ −2. Welche Gleichung beschreibt die Asymptote des Graphen für x → ±∞?

  1. y = 0
  2. y = x − 2 Correct answer.
  3. y = x + 2
  4. y = x²

Explanation

Da Zählergrad und Nennergrad gleich sind, liefert die Polynomdivision f(x) = x − 2 + 3/(x + 2). Für x → ±∞ verschwindet der Restterm, sodass y = x − 2 die schiefe Asymptote ist.

Question 42Analysis

Gegeben ist f(x) = x·e^(−x). Welche Aussage über das Verhalten des Graphen für x → +∞ trifft zu?

  1. Der Graph nähert sich der x-Achse von oben. Correct answer.
  2. Der Graph nähert sich der x-Achse von unten.
  3. Der Graph nähert sich der Geraden y = 1.
  4. Der Graph wächst über alle Grenzen.

Explanation

Für x → +∞ wächst e^(−x) schneller gegen 0, als x wächst, daher gilt x·e^(−x) → 0. Für positive x ist der Term positiv, der Graph nähert sich der x-Achse also von oben.

Question 43Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 ist gegeben. An welcher Stelle liegt ein lokales Minimum?

  1. x = 1
  2. x = −3
  3. x = −1
  4. x = 3 Correct answer.

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1), also sind x = 3 und x = −1 kritische Stellen. Wegen f''(x) = 6x − 6 ist f''(3) = 12 > 0, dort liegt ein lokales Minimum.

Question 44Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x²·e^(−x). An welcher Stelle x besitzt der Graph von f eine Wendestelle?

  1. x = 2
  2. x = 2 − √2 Correct answer.
  3. x = 0
  4. x = 1

Explanation

Es gilt f'(x) = (2x − x²)e^(−x) und f''(x) = (x² − 4x + 2)e^(−x). Die Nullstellen von f'' folgen aus x² − 4x + 2 = 0 und lauten x = 2 ± √2; beide sind wegen des Vorzeichenwechsels Wendestellen.

Question 45Analysis

Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x. Der Graph besitzt bei x = 1 einen Hochpunkt und bei x = 3 einen Tiefpunkt. Wie viele Lösungen hat die Gleichung f(x) = 4?

  1. Keine Lösung.
  2. Genau zwei Lösungen.
  3. Genau drei Lösungen.
  4. Genau eine Lösung. Correct answer.

Explanation

Es gilt f(1) = 4, der Hochpunkt liegt also auf der Geraden y = 4. Da f für x > 3 streng monoton wächst und f(3) = 0 < 4, wird der Wert 4 rechts vom Tiefpunkt genau einmal angenommen; links davon bleibt f unter 4.

Question 46Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x. Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [0; √3] soll berechnet werden. Welcher Wert ergibt sich?

  1. 9/4 Correct answer.
  2. 3/4
  3. 0
  4. 9/2

Explanation

Eine Stammfunktion ist F(x) = (1/4)x⁴ − (3/2)x². Mit F(√3) = 9/4 − 9/2 = −9/4 und F(0) = 0 ergibt sich der Flächeninhalt |−9/4| = 9/4.

Question 47Analysis

Für jedes a > 0 ist die Funktion f_a mit f_a(x) = x² − 2ax + a² gegeben. Welche Aussage über die Ortskurve der Tiefpunkte aller Graphen gilt?

  1. Alle Tiefpunkte liegen auf der x-Achse. Correct answer.
  2. Alle Tiefpunkte liegen auf der Parabel y = x².
  3. Alle Tiefpunkte liegen auf der y-Achse.
  4. Alle Tiefpunkte liegen auf der Geraden y = x.

Explanation

Es gilt f_a'(x) = 2x − 2a, also liegt die Extremstelle bei x = a. Der Funktionswert ist f_a(a) = a² − 2a² + a² = 0, alle Tiefpunkte haben somit die y-Koordinate 0 und liegen auf der x-Achse.

Question 48Analysis

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x² + 2x. Bestimmen Sie die Wendestelle und die Steigung des Graphen an dieser Stelle.

  1. Wendestelle x = 2 mit Steigung 2
  2. Wendestelle x = 1 mit Steigung 1
  3. Wendestelle x = 0 mit Steigung 2
  4. Wendestelle x = 1 mit Steigung −1 Correct answer.

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − 6x + 2 und f''(x) = 6x − 6. Aus f''(x) = 0 folgt x = 1, und Einsetzen ergibt f'(1) = 3 − 6 + 2 = −1.

Question 49Analysis

Die Funktion f mit f(x) = ln(x² + 1) ist auf ℝ definiert. An welcher Stelle besitzt der Graph von f ein Maximum?

  1. x = 1
  2. x = −1
  3. x = 0 Correct answer.
  4. x = e

Explanation

Es gilt f'(x) = 2x/(x² + 1), diese Ableitung ist nur bei x = 0 null. Für x < 0 ist f' negativ, für x > 0 positiv; das Vorzeichen wechselt von minus nach plus, daher liegt bei x = 0 ein Minimum und kein Maximum vor.

Question 50Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x·e^(−x). Die Tangente im Wendepunkt mit x = 2 − √2 soll bestimmt werden. Welche Steigung besitzt diese Wendetangente?

  1. (2√2 − 2)·e^(2 − √2)
  2. (2 − √2)·e^(√2 − 2)
  3. (2√2 − 2)·e^(√2 − 2) Correct answer.
  4. (2 − 2√2)·e^(√2 − 2)

Explanation

Die Steigung der Wendetangente ist f'(2 − √2). Mit f'(x) = (2x − x²)e^(−x) und x = 2 − √2 ergibt sich 2x − x² = 2√2 − 2, also die Steigung (2√2 − 2)·e^(√2 − 2).