Hamburg Abitur Math cheat sheet

Ableitung: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x für x > 0; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.

Produktregel: (u·v)' = u'·v + u·v'. Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x))·v'(x). Quotientenregel: (u/v)' = (u'v − uv')/v².

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0 → Maximum, f''(x₀) > 0 → Minimum.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel von links (f'' > 0, konvex) nach rechts (f'' < 0, konkav).

Tangentengleichung an der Stelle a: t(x) = f'(a)·(x − a) + f(a). Normale: Steigung −1/f'(a) für f'(a) ≠ 0.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) mit F' = f. Flächen zwischen Graph und x-Achse: Beträge der Teilintegrale über die Nullstellen addieren.

Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, wobei f oberhalb von g liegt; Schnittstellen als Integrationsgrenzen bestimmen.

Substitution: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C. Partielle Integration: ∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^(kt) mit k > 0; beschränkt f(t) = S − (S − a)·e^(−kt); logistisch mit Sättigung S und Wendepunkt bei f = S/2.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗).

Winkel zwischen Vektoren: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|). Kreuzprodukt liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗. Ebene in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Lage zweier Geraden prüfen: Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit testen, dann Gleichungssystem lösen - identisch, parallel, schneidend oder windschief.

Abstand Punkt–Ebene: d = |n⃗·(p⃗ − a⃗)|/|n⃗|. Abstand Punkt–Gerade über Lotfußpunkt oder Hilfsebene senkrecht zur Geraden.

Hesse-Normalenform: (1/|n⃗|)·n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; der Betrag des Einsetzens eines Punktes liefert direkt den Abstand.

Schnitt Gerade–Ebene: Geradenterm in die Koordinatenform einsetzen, Parameter t bestimmen, dann Schnittpunkt berechnen.

Matrix-Vektor-Produkt A·x⃗ bildet Vektoren linear ab; Übergangsmatrizen sind stochastisch, wenn jede Spaltensumme 1 ist.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); Erwartungswert μ = n·p, Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) zählt die Anzahl der Möglichkeiten, k Erfolge auf n Positionen zu verteilen.

Mindestens-Aufgaben: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)^n; „höchstens k“ als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Sigma-Regeln (Laplace-Bedingung σ > 3): etwa 68,3 % in [μ−σ, μ+σ], 95,4 % in [μ−2σ, μ+2σ], 99,7 % in [μ−3σ, μ+3σ].

Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) für P(B) > 0; Unabhängigkeit gilt genau dann, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B).

Satz von Bayes: P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A); Vierfeldertafel liefert alle Rand- und Schnittwahrscheinlichkeiten.

Ziehen ohne Zurücklegen: hypergeometrisch P(X = k) = C(S,k)·C(N−S,n−k)/C(N,n); mit Zurücklegen binomialverteilt.

Baumdiagramm: Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades), Summenregel (Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten eines Ereignisses).

Hypothesentest: Fehler 1. Art (H₀ verworfen, obwohl wahr) mit Wahrscheinlichkeit α; Fehler 2. Art (H₀ beibehalten, obwohl falsch) mit β.