Hamburg Abitur Math common mistakes
Hamburg Abitur Math · Understand the traps and how to avoid them.
Beim Bestimmen von Extremstellen wird f'(x)=0 gesetzt, die Lösung aber ohne Prüfung von f''(x) oder eines Vorzeichenwechsels als Hoch- bzw. Tiefpunkt bezeichnet (z. B. bei f(x)=x^4 wird x=0 fälschlich als Extremstelle ausgegeben).
Das Schema 'Ableitung null setzen, x einsetzen, fertig' wird aus einfacheren Aufgaben verallgemeinert; hinreichende Kriterien und der Sonderfall f''(x)=0 (Terrassenpunkt, z. B. x^4 in x=0) werden übersprungen, weil sie im Stress als Zusatzarbeit erscheinen.
What to do instead
Feste Routine einüben: erst Definitionsbereich und f'(x)=0 lösen, dann f''(x) an jeder Nullstelle auswerten; ist f''(x)=0, Vorzeichenwechsel von f' links/rechts prüfen (Tabelle mit Testwerten). Bei x^4 explizit durchrechnen: f'(x)=4x^3, f''(0)=0, f' wechselt von minus nach minus, also kein Extrempunkt, sondern Sattelpunkt.
Bei verketteten Funktionen wird die Kettenregel unvollständig angewandt, etwa f(x)=e^(2x^2) zu f'(x)=e^(2x^2) oder f(x)=sin(3x) zu f'(x)=cos(3x) abgeleitet; die innere Ableitung fehlt.
Die äußere Struktur (Exponential-, Sinusfunktion) dominiert die Wahrnehmung, die innere Funktion wird als 'Teil des Arguments' gelesen statt als eigene Funktion, die nachzudifferenzieren ist.
What to do instead
Beim Ableiten laut mitnotieren: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Beispiel: f(x)=e^(2x^2) ergibt f'(x)=e^(2x^2)·4x; f(x)=sin(3x) ergibt 3cos(3x). Zusätzlich Produkt- und Kettenregel kombiniert üben, etwa x^2·e^(3x), und jede Ableitung durch Einsetzen eines Zahlenwerts grob plausibilisieren.
Beim Berechnen von Flächen zwischen Graph und x-Achse oder zwischen zwei Graphen werden Nullstellen nicht bestimmt und Beträge nicht gesetzt; ein negativer Integralwert wird als Flächeninhalt angegeben oder eine Fläche über der Achse von einer darunter liegenden subtrahiert.
Das Integral wird mit 'Fläche' gleichgesetzt; die Orientierung des Integrals und die Notwendigkeit, abschnittsweise zu integrieren, wird übersehen, besonders wenn die Skizze fehlt.
What to do instead
Vor jedem Flächenintegral Nullstellen im betrachteten Intervall berechnen und eine grobe Skizze anlegen. Dann abschnittsweise integrieren und Beträge der Teilintegrale addieren: A = ∫|f(x)|dx. Bei Flächen zwischen zwei Graphen zuerst Schnittstellen über f(x)=g(x) bestimmen und im Teilintervall prüfen, welcher Graph oben liegt.
Bei Sachaufgaben mit exponentiellem Wachstum oder Zerfall wird der Parameter falsch interpretiert: Aus 'Halbwertszeit 5 Jahre' wird k=5 oder k=1/5 in f(t)=a·e^(kt) eingesetzt, statt k aus e^(5k)=1/2 zu bestimmen.
Die Formel wird auswendig gelernt, ohne die Bedeutung von k als Änderungsrate pro Zeiteinheit zu verstehen; Halbwertszeit und Rate werden begrifflich verwechselt.
What to do instead
Immer aus der Bedingung ansetzen: bei Halbwertszeit T gilt a·e^(kT)=a/2, also k=ln(0,5)/T. Für T=5 folgt k≈-0,1386. Ergebnis durch Probe prüfen: e^(-0,1386·5)≈0,5. Bei Verdopplungszeit analog k=ln(2)/T mit positivem Vorzeichen.
Bei der Kurvendiskussion einer Funktionenschar f_t(x) wird die Ableitung nach x gebildet, aber die Nullstellen oder Extremstellen werden ohne Fallunterscheidung nach t angegeben, etwa x=1/t, ohne t=0 auszuschließen.
Der Parameter wird wie eine Konstante behandelt und beim Auflösen nach x stillschweigend als ungleich null vorausgesetzt; Sonderfälle werden nicht systematisch geprüft.
What to do instead
Nach dem Auflösen jede Division durch einen Term mit t notieren und den Fall 'Nenner gleich null' separat behandeln. Beispiel: f_t(x)=t·x^2+1 hat für t=0 die konstante Funktion f(x)=1 ohne Extremstelle, für t≠0 eine Parabel. Ergebnisse als Fallunterscheidung formulieren: 'für t≠0 gilt ..., für t=0 gilt ...'.
Bei Geraden und Ebenen werden Lagebeziehungen nur über das Gleichungssystem gelöst, ohne die geometrische Interpretation zu prüfen; windschiefe Geraden werden als 'schneiden sich nicht, also parallel' eingezeichnet, oder ein Schnittpunkt wird angegeben, obwohl das LGS keine Lösung hat.
Das Lösen linearer Gleichungssysteme ist eingeübt, das Interpretieren der Lösungsmenge (eine, keine, unendlich viele Lösungen) und der Unterschied zwischen Richtungsvektoren und Verbindungsvektoren wird nicht mitgedacht.
What to do instead
Standardverfahren in fester Reihenfolge: Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit prüfen (parallel oder nicht), bei nicht parallelen Geraden das LGS für den Schnittpunkt lösen; keine Lösung bedeutet windschief. Ergebnis stets mit einer Skizze oder einer Plausibilitätsrechnung (Abstand der Geraden) kontrollieren.
Beim Skalarprodukt wird die Summe der Produkte der Koordinaten mit dem Kreuzprodukt verwechselt, oder der Winkel zwischen zwei Vektoren wird über arccos des Skalarprodukts ohne Division durch die Beträge berechnet.
Beide Operationen werden als 'Vektoren multiplizieren' abgespeichert; die Formel cos(φ)= (a·b)/(|a|·|b|) wird unvollständig erinnert.
What to do instead
Formel mit Bedeutung verankern: Skalarprodukt ergibt eine Zahl (a·b = a1b1+a2b2+a3b3), Kreuzprodukt ergibt einen Vektor senkrecht zu beiden. Für Winkel stets beide Beträge berechnen und cos(φ) auf [-1,1] prüfen; ein Ergebnis außerhalb dieses Bereichs zeigt einen Rechenfehler an. Beispiel: a=(1,2,2), b=(2,0,0) ergibt cos(φ)=2/(3·2)=1/3, also φ≈70,5°.
Beim Aufstellen einer Ebenengleichung aus drei Punkten wird ein Punkt als Aufpunkt und die Differenz zweier Punkte als ein Spannvektor verwendet, der zweite Spannvektor aber aus demselben Punktpaar gebildet, sodass die Vektoren linear abhängig sind und die 'Ebene' nur eine Gerade beschreibt.
Das Schema 'Aufpunkt plus zwei Richtungen' wird mechanisch angewandt, ohne zu prüfen, ob die gewählten Vektoren wirklich aufspannen; die lineare Unabhängigkeit wird nicht kontrolliert.
What to do instead
Nach dem Aufstellen die Spannvektoren auf lineare Abhängigkeit prüfen (Kreuzprodukt ungleich Nullvektor). Für drei Punkte A, B, C etwa u=B-A und v=C-A verwenden und nachrechnen, dass u und v nicht Vielfache voneinander sind. Alternativ die Koordinatenform über das Kreuzprodukt bestimmen und alle drei Punkte durch Einsetzen kontrollieren.
Bei Abstands- und Schnittwinkelaufgaben wird der Abstand eines Punktes von einer Ebene mit der Formel für den Abstand Punkt-Gerade berechnet, oder es wird der Winkel zwischen Gerade und Ebene direkt als Winkel zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor angegeben, ohne Komplementbildung.
Die Formeln ähneln sich (Projektion auf einen Normalen- bzw. Richtungsvektor), und der Unterschied zwischen Normalenwinkel und dem eigentlich gefragten Winkel zur Ebene wird übersehen.
What to do instead
Herleitung merken statt Formel raten: Abstand Punkt-Ebene ist der Betrag der Projektion von (P-Aufpunkt) auf den Normalenvektor, also |(P-A)·n|/|n|. Für den Winkel zwischen Gerade und Ebene gilt sin(φ)=|u·n|/(|u|·|n|); der Winkel zwischen Richtungsvektor und Normale ist 90°-φ. Ergebnis stets auf Plausibilität prüfen (Winkel zwischen 0° und 90°).
Bei Aufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeiten wird P(B|A) mit P(A∩B) verwechselt oder mit P(A|B) gleichgesetzt, etwa bei einem medizinischen Test: Die Sensitivität P(positiv|krank) wird als P(krank|positiv) berichtet.
Die Schreibweise mit dem senkrechten Strich wird als 'und' gelesen; die Umkehrung der Bedingung erfordert bewusstes Anwenden des Satzes von Bayes, das oft nicht als eigener Schritt erkannt wird.
What to do instead
Vierfeldertafel oder Baumdiagramm mit beiden Richtungen anlegen und die gefragte Wahrscheinlichkeit zuerst in Worten formulieren ('Anteil der Kranken unter den Positiven'). Dann P(krank|positiv)=P(positiv|krank)·P(krank)/P(positiv) mit dem Satz von Bayes berechnen. Mit konkreten Zahlen prüfen: Bei 1 % Prävalenz, 99 % Sensitivität und 5 % Falsch-Positiven liegt P(krank|positiv) nur bei etwa 0,167.