Analyse: Zylindrische Dose mit Höhenvorgabe
Eine kleine Brauerei will ihr Bier in zylindrischen Dosen mit 500 mL Inhalt abfüllen. Aus technischen Gründen muss die Dosenhöhe h zwischen 10 cm und 16 cm liegen; der Radius r ist frei wählbar. Der Materialverbrauch wird näherungsweise durch die gesamte Zylinderoberfläche A=2πr²+2πrh beschrieben; Falze, Deckelüberstand und Verschnitt bleiben unberücksichtigt. Ein Praktikant berechnet aus dem Volumen V=πr²h=500 die Beziehung r²=500/(πh) und will anschließend mit A'(h)=0 die günstigste Höhe bestimmen. Er erhält h≈8,6 cm und ist irritiert, weil dieser Wert nicht im vorgegebenen Intervall liegt. Die Geschäftsführung fragt, ob man die Höhenvorgabe lockern soll oder ob auch innerhalb der Vorgabe eine sinnvolle Lösung existiert. Zusätzlich soll geprüft werden, ob eine Dose mit h=16 cm deutlich mehr Material benötigt als die beste zulässige Dose.
1. Leite A(h) her und begründe, warum h im Intervall [10;16] betrachtet werden muss.
Read the worked answer
V=πr²h=500 ⇒ r²=500/(πh). Einsetzen: A(h)=2π·500/(πh)+2πh·√(500/(πh))=1000/h+2√(500π)·√h. Wegen h>0 und der technischen Vorgabe ist h∈[10;16] zu betrachten; außerdem muss r>0 sein, was für alle h>0 gilt. Die Randwerte sind mitzuprüfen, weil das Minimum einer Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall auch am Rand liegen kann.
2. Bestimme das Minimum von A(h) ohne Höhenbeschränkung und erkläre die Konsequenz für die zulässige Optimierung.
Read the worked answer
A'(h)=−1000/h²+√(500π)/√h. Null setzen: √(500π)·h^(3/2)=1000 ⇒ h^(3/2)=1000/√(500π)≈25,23 ⇒ h≈8,60 cm. Dort ist r≈4,30 cm, also h≈2r, das bekannte Optimum ohne Nebenbedingung. Da h=8,60 nicht in [10;16] liegt und A'(h) für h>8,60 positiv ist, ist A auf [10;16] streng wachsend. Das unbeschränkte Minimum ist unzulässig; das zulässige Minimum liegt am linken Rand h=10.
3. Berechne die materialminimale zulässige Dose und vergleiche ihren Materialverbrauch mit h=16 cm.
Read the worked answer
Für h=10: r=√(500/(10π))≈3,99 cm und A(10)=1000/10+2√(500π)·√10≈100+250,7=350,7 cm². Für h=16: r≈3,15 cm und A(16)=1000/16+2√(500π)·4≈62,5+317,1=379,6 cm². Die zulässige materialminimale Dose hat also h=10 cm, r≈3,99 cm; sie benötigt rund 28,9 cm² (ca. 8 %) weniger Material als die 16-cm-Variante. Eine Lockerung der Höhenvorgabe nach unten wäre materialsparend, aber technisch nicht zulässig.