Lineare Algebra: Produktionsplan mit parameterabhängiger Schraubenzahl
Eine Schreinerei stellt Stühle (S), Tische (T) und Bänke (B) her. Für eine Woche sind folgende Lagerbestände verbindlich: 44 Einheiten Holz, 152 Schrauben und 29 Einheiten Lack. Der Verbrauch pro Stück ist: Stuhl 2 Holz, 8 Schrauben, 1 Lack; Tisch 4 Holz, a Schrauben, 3 Lack; Bank 3 Holz, 12 Schrauben, 2 Lack. Die Schraubenzahl a pro Tisch hängt von der gewählten Verbindungstechnik ab und ist zunächst a=10. Die Geschäftsführung möchte den Lagerbestand diese Woche genau verbrauchen. Ein Auszubildender behauptet, bei a=16 gebe es immer eine eindeutige Lösung, weil sich die Schraubenzahl ja nur um 6 ändere. Die Produktionsleitung ist unsicher, ob das lineare Gleichungssystem für verschiedene a eindeutig lösbar ist und was bei a=16 passiert. Außerdem soll geklärt werden, ob bei a=16 durch eine andere Schraubenlieferung ein Plan mit unendlich vielen Lösungen entstehen kann.
1. Bestimme den Parameter a, für den das zugehörige lineare Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, und berechne für a=10 die eindeutige Lösung.
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Matrix M(a)=[[2,4,3],[8,a,12],[1,3,2]]. det M(a)=2(2a−36)−4(16−12)+3(24−a)=4a−72−16+72−3a=a−16. Für a≠16 ist det≠0, also eindeutig lösbar; für a=16 ist det=0. Für a=10: aus 2S+4T+3B=44 und S+3T+2B=29 folgt nach 2·(zweite)−erste: 2T+B=14. Damit B=14−2T und S=1+T. Einsetzen in 8S+10T+12B=152 liefert 8(1+T)+10T+12(14−2T)=152 ⇒ 176−6T=152 ⇒ T=4, S=5, B=6. Der Lagerbestand wird also mit 5 Stühlen, 4 Tischen und 6 Bänken genau verbraucht.
2. Untersuche den Fall a=16: Zeige, dass mit dem gegebenen Schraubenbestand keine Lösung existiert, und interpretiere das Ergebnis betriebswirtschaftlich.
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Für a=16 lautet die Schraubengleichung 8S+16T+12B=152. Die linke Seite ist 4·(2S+4T+3B), also 4-mal die Holzgleichung. Aus der Holzgleichung folgt 4·44=176, die Schraubengleichung verlangt aber 152. Beide Gleichungen sind daher unvereinbar; das LGS hat keine Lösung. Betriebswirtschaftlich heißt das: Mit der neuen Verbindungstechnik reicht der Schraubenbestand nicht für exakten Verbrauch; es bleibt entweder Holz/Lack übrig oder es müssten mehr Schrauben beschafft werden. Die Behauptung des Auszubildenden ist falsch, weil die Änderung die Zeilenabhängigkeit erzeugt.
3. Bestimme einen Schraubenbestand, bei dem für a=16 unendlich viele Lösungen existieren, und gib zwei verschiedene nichtnegative Produktionspläne an.
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Damit bei a=16 Lösungen existieren, muss die rechte Seite die Zeilenabhängigkeit erfüllen, also Schraubenbestand=4·44=176. Dann sind nur Holz- und Lackgleichung unabhängig: 2S+4T+3B=44, S+3T+2B=29. Wie oben folgt B=14−2T und S=1+T mit freiem T. Nichtnegativität: T≥0, B≥0 ⇒ T≤7. Zwei Pläne: T=2 ⇒ S=3, B=10; T=4 ⇒ S=5, B=6. Beide verbrauchen 44 Holz, 176 Schrauben und 29 Lack. Es gibt also unendlich viele Lösungen, aber nur endlich viele ganzzahlige nichtnegative.