Analytische Geometrie: Spanndraht trifft Solarmodul
An einer Fassade wird ein rechteckiges Solarmodul montiert. Im Koordinatensystem (1 Einheit = 1 m) liegen die Eckpunkte A(2|0|1), B(6|0|1) und C(2|4|3); der vierte Eckpunkt ist D=B+C−A. Das Modul ist also ein Parallelogramm. Von einem Dachpunkt P(0|0|4) soll ein Spanndraht geradlinig zu Q(6|6|0) geführt werden. Die Montagefirma will wissen, ob der Draht das Modul durchstößt, und falls ja, ob die Durchstoßstelle sicher innerhalb der Modulfläche liegt oder nur auf einer Verlängerung der Ebene. Ein zweiter Draht soll von P aus in Richtung des Vektors (1|2|1) verlaufen; ein Monteur behauptet, dieser Draht könne das Modul auf keinen Fall treffen. Außerdem ist zu prüfen, ob der erste Draht bei einer Verlängerung über Q hinaus noch einmal auf das Modul trifft.
1. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der das Modul liegt.
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Vektoren AB=(4,0,0) und AC=(0,4,2). Normalenvektor n=AB×AC=(0·2−0·4, 0·0−4·2, 4·4−0·0)=(0,−8,16), also z. B. n=(0,−1,2). Ebene durch A: 0(x−2)−1(y−0)+2(z−1)=0 ⇒ −y+2z−2=0 bzw. y=2z−2.
2. Prüfe, ob der Spanndraht von P nach Q das Modul durchstößt. Bestimme den Durchstoßpunkt und entscheide, ob er innerhalb des Parallelogramms liegt.
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Gerade P→Q: g(t)=(0,0,4)+t(6,6,−4)=(6t,6t,4−4t), t∈[0,1]. Einsetzen in die Ebene: 6t=2(4−4t)−2 ⇒ 6t=6−8t ⇒ 14t=6 ⇒ t=3/7. Durchstoßpunkt D=(18/7,18/7,16/7)≈(2,57|2,57|2,29). Im Parallelogramm gilt D=A+s·AB+u·AC. Aus x: 2+4s=18/7 ⇒ s=1/7. Aus y: 4u=18/7 ⇒ u=9/14. Damit ist z=1+2u=16/7, passt. Wegen s,u≥0 und s+u=11/14≤1 liegt D im Inneren der Modulfläche, nicht nur auf der Verlängerung.
3. Begründe die Aussage des Monteurs für den zweiten Draht in Richtung (1|2|1) und beantworte, ob der erste Draht bei Verlängerung über Q hinaus das Modul erneut trifft.
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Richtung (1,2,1) hat mit n=(0,−1,2) das Skalarprodukt 0·1+(−1)·2+2·1=0; sie ist also parallel zur Ebene. P(0,0,4) liegt nicht in der Ebene, denn −0+2·4−2=6≠0. Eine parallele Gerade außerhalb der Ebene schneidet sie nie; die Aussage des Monteurs stimmt. Der erste Draht ist eine Gerade, die die Ebene in genau einem Punkt schneidet; bei Verlängerung über Q hinaus bleibt es dieselbe Gerade und damit derselbe einzige Schnittpunkt. Ein zweiter Treffer mit dem Modul ist ausgeschlossen.