Stochastik: Schnelltest und Positivprädiktion bei niedriger Prävalenz
In einem Landkreis mit 200 000 Einwohnern wird ein Schnelltest auf eine Infektion eingesetzt. Die Vortestwahrscheinlichkeit (Prävalenz) beträgt 0,5 %. Der Test hat eine Sensitivität von 95 %: Infizierte werden mit Wahrscheinlichkeit 0,95 positiv getestet. Die Spezifität beträgt 98 %: Nichtinfizierte werden mit Wahrscheinlichkeit 0,98 negativ getestet. Das Gesundheitsamt erwägt, alle Einwohner zu testen und alle positiv Getesteten sofort unter Quarantäne zu stellen. Ein Journalist rechnet mit 95 % und behauptet, die meisten positiv Getesteten seien wirklich infiziert. Die Behörde erwägt stattdessen, jeden positiv Getesteten einem zweiten, unabhängigen Test mit denselben Kennwerten zu unterziehen und erst bei zwei positiven Ergebnissen zu handeln. Außerdem soll geprüft werden, welche Spezifität der erste Test mindestens bräuchte, damit unter den positiv Getesteten mindestens die Hälfte tatsächlich infiziert ist.
1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich infiziert ist, und die erwarteten Anzahlen von echten und falschen positiven Tests unter allen 200 000 Einwohnern.
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Vierfeld: P(D)=0,005, P(nicht D)=0,995, P(+|D)=0,95, P(+|nicht D)=0,02. Bayes: P(D|+)=0,95·0,005/(0,95·0,005+0,02·0,995)=0,00475/0,02465≈0,193. Unter 200 000: 1000 Infizierte, davon 950 richtig positiv; 199 000 Gesunde, davon 3980 falsch positiv. Insgesamt 4930 positive Tests, davon 950 echt positiv; der Anteil ist 950/4930≈19,3 %. Die Behauptung des Journalisten ist falsch.
2. Berechne die entsprechende Wahrscheinlichkeit nach zwei unabhängigen positiven Tests und beurteile die Strategie des Gesundheitsamts.
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Unabhängige Tests: P(++|D)=0,95²=0,9025; P(++|nicht D)=0,02²=0,0004. P(D|++)=0,9025·0,005/(0,9025·0,005+0,0004·0,995)=0,0045125/0,0049105≈0,919. Von den 4930 erstpositiven Personen wären also rund 91,9 % tatsächlich infiziert; erwartet werden ca. 950·0,95≈903 echte und 3980·0,02≈80 falsche zweite Positive. Die Zweitteststrategie erhöht die Sicherheit deutlich, beseitigt aber nicht alle falschen Quarantänen; die Kosten und der Zeitverzug sind zu bedenken.
3. Bestimme die Mindestspezifität des ersten Tests, damit unter den positiv Getesteten mindestens die Hälfte infiziert ist; interpretiere das Ergebnis.
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Sei f=1−Spezifität. Es soll 0,00475/(0,00475+0,995f)≥0,5 gelten. Äquivalent: 0,00475≥0,5(0,00475+0,995f) ⇒ 0,002375≥0,4975f ⇒ f≤0,004774 ⇒ Spezifität≥0,995226, also mindestens etwa 99,52 %. Mit 98 % Spezifität ist die Positivprädiktion viel zu niedrig für eine Quarantäne aller positiv Getesteten; eine hohe Spezifität ist bei niedriger Prävalenz entscheidend.