Analysis: e-Funktionen, Integralrechnung und Sachkontexte
Die Analysis ist in Hamburg der Bereich, der in jeder schriftlichen Abiturklausur vorkommt und meist den größten Punkteanteil trägt. Geprüft werden Funktionsuntersuchungen (vor allem e-Funktionen, auch mit Scharparameter), die Ableitungsregeln, die Integralrechnung als Flächen- und Bestandsgröße sowie das Arbeiten in Sachkontexten mit Wachstumsmodellen. Viele Teilaufgaben stehen in einem Anwendungskontext (Medikamentenabbau, Abkühlung, Bevölkerungsentwicklung) und verlangen am Ende eine Deutung des Ergebnisses in der Sache.
Ableiten und untersuchen
- Kettenregel ist Pflicht: (e^{g(x)})′ = g′(x)·e^{g(x)}; bei x·e^{−x} zusätzlich Produktregel.
- Nullstellen: e^{g(x)} wird nie null, also nur den polynomialen Faktor null setzen.
- Extremstelle: notwendig f′(x)=0, hinreichend ein Vorzeichenwechsel von f′ oder f″(x)≠0 (f″<0 bedeutet Maximum).
- Wendestelle: f″(x)=0 und f‴(x)≠0; die Grenzwerte für x→±∞ liefern die Asymptoten.
- Scharparameter: Extrema und Ortskurve in Abhängigkeit von a angeben.
Integrieren
- Hauptsatz: ∫_a^b f(x)dx = F(b)−F(a); eine Stammfunktion von e^{kx} ist (1/k)·e^{kx}.
- Fläche zur x-Achse: Nullstellen als innere Grenzen, Teilintegrale im Betrag addieren.
- Fläche zwischen zwei Graphen: ∫(f−g) über die Schnittstellen.
- Rekonstruktion: Bestand f(x) = f(0) + ∫_0^x f′(t)dt.
Sachkontext
- Mittlere Änderungsrate = Differenzenquotient, momentane Änderungsrate = f′(x).
- Beschränktes Wachstum: B(t) = S − (S − B(0))·e^{−kt}, dabei ist S die obere Schranke.
Durchgerechnetes Beispiel
f(x) = (x−1)·e^{−x}. Produktregel: f′(x) = e^{−x} + (x−1)·(−e^{−x}) = (2−x)·e^{−x}. f′(x)=0 ergibt x=2. Mit f″(x) = (x−3)·e^{−x} folgt f″(2) = −e^{−2} < 0, also ein Maximum bei x=2 mit f(2)=e^{−2}≈0,135. Nullstelle x=1; für x→+∞ gilt f(x)→0 (waagerechte Asymptote), für x→−∞ f(x)→−∞. Fläche über [1;3]: F(x) = −x·e^{−x} ist eine Stammfunktion (Nachdifferenzieren bestätigt f), also A = F(3)−F(1) = −3e^{−3}+e^{−1} ≈ 0,218.
Typische Punktverluste
- Innere Ableitung vergessen, wenn im Exponenten mehr als x steht.
- Flächenstück unter der x-Achse ohne Betrag positiv gezählt.
- Extremstelle nur mit f′(x)=0 begründet, der Nachweis fehlt.
- Grenzverhalten oder Definitionsbereich nicht diskutiert.
- Beim Rekonstruieren den Anfangsbestand f(0) vergessen oder Integralgrenzen vertauscht.
- Im Sachkontext keine Einheit und keine Deutung angegeben.