Lineare Algebra / Analytische Geometrie: Ebenen, Lagebeziehungen und Abstände
Lineare Algebra / Analytische Geometrie ist in Hamburg das Gebiet mit den meisten Rechenschritten pro Aufgabe. Es verbindet Vektorrechnung (Geraden, Ebenen, Lagebeziehungen, Abstände, Winkel) mit linearen Strukturen (Linearkombination, lineare Unabhängigkeit, Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme, Matrizen). Typische Aufgaben: eine Ebene aus drei Punkten aufstellen, Gerade und Ebene schneiden, den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmen, Rechtwinkligkeit nachweisen oder eine Ebenenschar untersuchen.
Geraden und Ebenen
- Gerade: x = a + t·u. Ebene: x = a + r·u + s·v, wobei u und v linear unabhängig sein müssen.
- Normalenvektor über das Kreuzprodukt: n = u×v; Koordinatenform n·x = d mit d = n·a.
- Hessesche Normalenform: (x−a)·n₀ = d mit n₀ = n/|n| liefert direkt den Abstand.
Lage, Winkel, Abstand
- Gerade schneidet Ebene: Geradenterm in die Ebenengleichung einsetzen, Parameter lösen, Schnittpunkt zur Kontrolle in beide Gleichungen einsetzen.
- Schnittwinkel Gerade–Ebene: sin φ = |u·n|/(|u|·|n|); für Gerade–Gerade und Ebene–Ebene gilt der Kosinus.
- Windschiefe Geraden: Abstand über eine Hilfsebene durch die eine Gerade, die parallel zur anderen verläuft.
Lineare Algebra
- Linearkombination und lineare Unabhängigkeit: nur die triviale Lösung ist zulässig.
- Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus auf Stufenform bringen; die Lösungsmenge ist eindeutig, leer oder parametrisiert.
Durchgerechnetes Beispiel
Abstand von P(3|1|2) zur Ebene E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6. Normalenvektor n = (2;−1;2), |n| = √(4+1+4) = 3. Einsetzen in die HNF: d = |2·3 − 1·1 + 2·2 − 6| / 3 = |6−1+4−6|/3 = 1. Der Abstand beträgt eine Längeneinheit. Kontrolle über den Lotfußpunkt: n₀ = (2/3;−1/3;2/3), F = P − 1·n₀ = (7/3;4/3;4/3), und 2·7/3 − 4/3 + 2·4/3 = 18/3 = 6, also liegt F in E.
Typische Punktverluste
- Richtungsvektoren, die Vielfache sind, erzeugen keine Ebene, sondern eine Gerade.
- Kreuzprodukt in falscher Reihenfolge: v×u dreht das Vorzeichen des Normalenvektors.
- Nicht normierter Normalenvektor: der Abstand wird um den Faktor |n| zu groß.
- Winkel Gerade–Ebene mit Kosinus statt Sinus berechnet.
- Ebenen in Parameterform sind nicht eindeutig; Parametervergleiche beweisen nichts, eine Punktprobe schon.
- Bei Ebenenscharen den Scharparameter wie eine Konstante behandeln und Sonderfälle unterschlagen.