Stochastik: Binomialverteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Signifikanztests
Stochastik im Hamburger Abitur prüft das Modellieren von Zufallsexperimenten und das Beurteilen von Entscheidungen unter Unsicherheit. Kerninhalte sind Baumdiagramme und Vierfeldertafeln, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit, binomialverteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert und Standardabweichung sowie Signifikanztests und Konfidenzintervalle. In den Aufgaben müssen Modellannahmen (Unabhängigkeit, konstantes p) ausdrücklich begründet und Ergebnisse im Kontext gedeutet werden.
Grundlagen
- Pfadregeln: entlang eines Pfades multiplizieren, über verschiedene Pfade addieren.
- Vierfeldertafel: P_B(A) = P(A∩B)/P(B); Unabhängigkeit liegt vor, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B).
- Ziehen ohne Zurücklegen folgt dem hypergeometrischen Modell, nicht der Binomialverteilung.
Binomialverteilung
- P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}; kumulierte Werte aus Tabelle oder WTR.
- Mindestens k: 1 − P(X ≤ k−1); höchstens k direkt kumuliert.
- μ = n·p, σ = √(n·p·(1−p)); die Sigma-Regeln sind nur eine Näherung.
Testen von Hypothesen
- Rechtsseitiger Test: H₀: p = p₀ gegen H₁: p > p₀; der Ablehnungsbereich wird so gewählt, dass P(X ∈ A | H₀) ≤ α gilt.
- Fehler 1. Art = α (H₀ verworfen, obwohl wahr); Fehler 2. Art = β (H₀ beibehalten, obwohl falsch).
- Konfidenzintervall näherungsweise p ± z·√(p(1−p)/n).
Durchgerechnetes Beispiel
100 Personen testen ein Produkt, p₀ = 0,5. Vermutung: mehr als die Hälfte sind zufrieden, α = 5 %. Rechtsseitiger Test mit X ~ B(100; 0,5). Aus der Tabelle: P(X ≥ 58) ≈ 0,067 und P(X ≥ 59) ≈ 0,045. Der Ablehnungsbereich ist also {59; …; 100}, denn erst dort liegt die Wahrscheinlichkeit unter 0,05. Beobachtet man 62 Treffer, wird H₀ verworfen: Das Ergebnis ist bei 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit signifikant für p > 0,5. Die Wahrscheinlichkeit, H₀ fälschlich zu verwerfen, beträgt 4,5 %.
Typische Punktverluste
- P(A|B) und P(B|A) verwechselt, obwohl die Bedingung die Bezugsgröße festlegt.
- Bei mindestens k das Gegenereignis falsch abgegrenzt (≤ k statt ≤ k−1).
- Test ohne gerichtete Hypothese formuliert oder α und β vertauscht.
- Binomialmodell ohne Prüfung der Voraussetzungen verwendet.
- Sigma-Regeln außerhalb ihres Gültigkeitsbereichs (np(1−p) klein) benutzt.