La dosificadora con parámetro: ¿se puede atender el pedido?
La cooperativa agroalimentaria El Quijote prepara tres bebidas (A, B y C) mezclando tres concentrados. Cada unidad de A consume 1, a y 1 de los concentrados 1, 2 y 3 respectivamente; cada unidad de B consume 1, 1 y a; y cada unidad de C consume a, 1 y 1. El parámetro a es el ajuste de la dosificadora y el departamento de I+D puede fijarlo en cualquier valor real del intervalo [0, 3]; los consumos se miden en miles de litros. El pedido de la semana obliga a consumir íntegramente 1 (mil litros) de cada concentrado, sin que sobre ni falte nada. Antes de programar la máquina, producción quiere saber si el pedido es atendible, si la solución es única y cuántas formas de fabricarlo existen. Un operario recuerda que en el turno anterior la dosificadora se quedó en un ajuste con el que el pedido resultó imposible de cumplir, y que no hay margen para descubrirlo el día del envasado: el sistema debe analizarse con antelación.
1. Plantea el sistema que da las unidades de A, B y C necesarias para cubrir el pedido y discútelo en función de a. Indica para qué ajustes a ∈ [0, 3] la solución es única y calcula esa solución para a = 0.
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Planteamiento. Sean x, y, z las unidades (miles de litros) de A, B y C. El consumo de cada concentrado debe ser exactamente 1:
- Concentrado 1: x + y + a·z = 1
- Concentrado 2: a·x + y + z = 1
- Concentrado 3: x + a·y + z = 1
Determinante de la matriz de coeficientes. M = [[1, 1, a], [a, 1, 1], [1, a, 1]] |M| = 1·1·1 + 1·1·1 + a·a·a − a·1·1 − 1·a·1 − 1·1·a = 2 + a³ − 3a = a³ − 3a + 2. Factorizando (por Ruffini con la raíz a = 1, doble): |M| = (a − 1)²·(a + 2).
Discusión en el rango de la máquina. Como a ∈ [0, 3], el factor (a + 2) nunca se anula; el determinante se anula solo en a = 1. Por tanto:
- Si a ∈ [0, 1) ∪ (1, 3]: |M| ≠ 0, el sistema es compatible determinado y el pedido se atiende de una única forma.
- Si a = 1: caso singular, hay que estudiarlo aparte.
Solución para a = 0. El sistema queda x + y = 1; y + z = 1; x + z = 1. Restando la tercera a la suma de las dos primeras se obtiene 2y = 1, y por simetría x = y = z = 1/2. Es decir, 500 litros de cada bebida. Comprobación: cada ecuación da 1, tal como exige el pedido.
2. Analiza qué ocurre exactamente en a = 1 y en a = -2 (aunque este último quede fuera del rango de la máquina), utilizando el teorema de Rouché–Fontené. ¿Qué ajuste es el verdaderamente peligroso para la planta?
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Caso a = 1. Las tres filas de M son (1, 1, 1), luego rango(M) = 1. La matriz ampliada tiene las mismas filas y el término independiente también vale 1 en las tres, así que rango(M*) = 1. Como rango(M) = rango(M*) = 1 < 3 (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado con 3 − 1 = 2 parámetros: x = 1 − λ − μ, y = λ, z = μ. El pedido se puede cumplir de infinitas maneras; la producción no es única, y cualquier pequeño error de dosificación pasa desapercibido porque las tres ecuaciones son la misma.
Caso a = -2. M = [[1, 1, -2], [-2, 1, 1], [1, -2, 1]]. La suma de las tres filas es (0, 0, 0), luego rango(M) ≤ 2; las dos primeras filas no son proporcionales, así que rango(M) = 2. Sin embargo, en la matriz ampliada la misma combinación (sumar las tres filas) produce un término independiente 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0, de modo que rango(M*) = 3 ≠ rango(M): sistema incompatible, el pedido no se puede fabricar.
Conclusión de planta. a = -2 es inalcanzable con la dosificadora actual (a ∈ [0, 3]), así que el único ajuste problemático dentro del rango real es a = 1: no bloquea el pedido, pero destruye la unicidad y el control de calidad. Lo prudente es fijar a en un valor alejado de 1.
3. El cliente añade una condición comercial: las tres bebidas deben fabricarse en la misma cantidad. ¿Se puede cumplir el pedido con a = 1? ¿Y con a = 0? Razona la respuesta y valora si la nueva condición elimina la indeterminación.
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Con a = 1. La familia de soluciones es x + y + z = 1 con x, y, z ≥ 0. Imponer x = y = z = t conduce a 3t = 1, es decir t = 1/3: 333,3 litros de cada bebida. Sí es posible, y la solución es única dentro de la familia: la condición comercial actúa como dos ecuaciones adicionales (x = y, y = z) que, junto a la única ecuación independiente del sistema, fijan el punto. La indeterminación matemática no desaparece del sistema, pero el plan de producción sí queda determinado.
Con a = 0. La solución única ya era x = y = z = 1/2, de modo que la condición comercial se cumple automáticamente y no aporta nada nuevo.
Valoración. La condición del cliente es una restricción de igualdad entre variables, no un cambio de rango: con a = 1 el sistema sigue siendo degenerado y la solución 1/3 es frágil frente a errores de dosificación (las tres ecuaciones siguen siendo la misma y no detectan desviaciones). Con a = 0 el sistema es de rango máximo y el control es real. Recomendación técnica: fijar a ≠ 1 y usar la condición comercial solo como verificación.