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PAU Mathematics II (Castilla-La Mancha) practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Matemáticas II

Sea la matriz A = [[2, 1], [1, 2]]. ¿Cuáles son sus valores propios?

  1. 0 y 4
  2. −1 y 3
  3. 1 y 3 Correct answer.
  4. 2 y 2

Explanation

El polinomio característico es det(A − λI) = (2 − λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3, cuyas raíces son λ = 1 y λ = 3. También se comprueba porque la traza vale 4 (suma de valores propios) y el determinante vale 3 (producto).

Question 2Matemáticas II

¿Cuál es el valor de lim(x→0) (sen 3x)/x?

  1. 1
  2. No existe
  3. 0
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Usando el límite fundamental lim(x→0) (sen u)/u = 1 con u = 3x, se tiene (sen 3x)/x = 3·(sen 3x)/(3x) → 3·1 = 3. Equivalentemente, la regla de L'Hôpital da 3cos(3x) evaluado en 0, es decir, 3.

Question 3Matemáticas II

La función f(x) = x³ − 3x tiene un máximo relativo en x = −1. ¿Cuál es el valor de ese máximo?

  1. 2 Correct answer.
  2. 0
  3. −2
  4. −1

Explanation

Se evalúa f(−1) = (−1)³ − 3(−1) = −1 + 3 = 2. Como f′(x) = 3x² − 3 se anula en x = ±1 y f″(−1) = −6 < 0, en x = −1 hay efectivamente un máximo relativo de valor 2.

Question 4Matemáticas II

Se lanza un dado cúbico equilibrado. Si A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3}, ¿cuánto vale P(A ∪ B)?

  1. 1/6
  2. 2/3
  3. 1/2
  4. 5/6 Correct answer.

Explanation

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}, que tiene 5 sucesos elementales de los 6 posibles. Por tanto P(A ∪ B) = 5/6, coherente con P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 − 1/6.

Question 5Matemáticas II

¿Cuál es el módulo del número complejo z = 3 − 4i?

  1. 7
  2. 5 Correct answer.
  3. 25
  4. 1

Explanation

El módulo es |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Geométricamente es la distancia del afijo (3, −4) al origen, que forma una terna pitagórica 3-4-5.

Question 6Matemáticas II

Sea f(x) = ln(x² + 1). ¿Cuál es su derivada?

  1. 2x/(x² + 1)²
  2. 1/(x² + 1)
  3. 2x/(x² + 1) Correct answer.
  4. 2x·ln(x² + 1)

Explanation

Aplicando la regla de la cadena, la derivada del logaritmo es el cociente entre la derivada del argumento y el propio argumento: f′(x) = 2x/(x² + 1).

Question 7Matemáticas II

¿Cuál es el rango de la matriz M = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [0, 1, 1]]?

  1. 1
  2. 0
  3. 2 Correct answer.
  4. 3

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que solo quedan dos filas independientes. Las filas (1, 2, 3) y (0, 1, 1) no son proporcionales, luego el rango es 2.

Question 8Matemáticas II

La recta r pasa por el punto P(1, 0, 2) y tiene vector director v = (2, −1, 3). ¿Cuál de estas ecuaciones vectoriales la representa?

  1. (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(1, 0, 2)
  2. (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, −1, 3) Correct answer.
  3. (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(3, −1, 2)
  4. (x, y, z) = (2, −1, 3) + t(1, 0, 2)

Explanation

La ecuación vectorial de una recta es X = P + t·v, con P un punto de la recta y v un vector director. Sustituyendo P(1, 0, 2) y v(2, −1, 3) se obtiene la opción correcta.

Question 9Matemáticas II

Sea la función f(x) = x³ − 3x² + 2. ¿En qué intervalos es creciente?

  1. (−∞, 2)
  2. (2, +∞) únicamente
  3. (−∞, 0) ∪ (2, +∞) Correct answer.
  4. (0, 2)

Explanation

La derivada es f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), que es positiva fuera del intervalo [0, 2]. Por tanto f crece en (−∞, 0) y en (2, +∞), y decrece entre 0 y 2.

Question 10Matemáticas II

Calcula el área encerrada entre la parábola y = x² y la recta y = x + 2.

  1. 7/2
  2. 5/2
  3. 3/2
  4. 9/2 Correct answer.

Explanation

Los cortes se obtienen de x² = x + 2, es decir, x = −1 y x = 2. El área es ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = 10/3 + 7/6 = 9/2.

Question 11Matemáticas II

Se quiere construir un rectángulo de perímetro 40 cm con área máxima. ¿Cuáles son sus dimensiones?

  1. 12 cm × 8 cm
  2. 18 cm × 2 cm
  3. 15 cm × 5 cm
  4. 10 cm × 10 cm Correct answer.

Explanation

Con semiperímetro 20, si un lado mide x el otro mide 20 − x, y el área es A(x) = x(20 − x) = 20x − x². Su máximo se alcanza en x = 10, es decir, en el cuadrado de 10 cm de lado y área 100 cm².

Question 12Matemáticas II

Sea A = [[1, 2], [0, 1]]. ¿Cuál es la matriz Aⁿ para n entero positivo?

  1. [[1, 0], [0, 1]]
  2. [[1, 2n], [0, 1]] Correct answer.
  3. [[1, 2ⁿ], [0, 1]]
  4. [[n, 2n], [0, n]]

Explanation

Escribiendo A = I + N con N = [[0, 2], [0, 0]] y N² = 0, el binomio de Newton se trunca: Aⁿ = I + nN = [[1, 2n], [0, 1]]. Se comprueba por inducción multiplicando Aⁿ⁻¹ por A.

Question 13Matemáticas II

Halla la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) y C(0, 0, 1).

  1. x + y + z = 1 Correct answer.
  2. 2x + y + z = 2
  3. x − y + z = 1
  4. x + y + z = 0

Explanation

Los vectores AB = (−1, 1, 0) y AC = (−1, 0, 1) generan el plano; su producto vectorial da la normal (1, 1, 1). Imponiendo que pase por A(1, 0, 0) resulta x + y + z = 1.

Question 14Matemáticas II

En una urna hay 4 bolas blancas y 6 negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

  1. 4/25
  2. 8/45
  3. 1/5
  4. 2/15 Correct answer.

Explanation

Se aplica la regla del producto: P(blanca)·P(blanca|blanca) = (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15. También se obtiene con combinatoria como C(4,2)/C(10,2) = 6/45.

Question 15Matemáticas II

Sea f(x) = x·e^(−x). ¿Dónde alcanza f su máximo absoluto en [0, +∞)?

  1. x = 0
  2. No tiene máximo
  3. x = 1 Correct answer.
  4. x = e

Explanation

La derivada es f′(x) = e^(−x)(1 − x), que se anula en x = 1 y cambia de positiva a negativa. Como f(0) = 0, f(1) = 1/e y f(x) → 0 cuando x → +∞, el máximo absoluto vale 1/e en x = 1.

Question 16Matemáticas II

Resuelve el sistema dado por la ecuación matricial AX = B, donde A = [[2, 1], [1, 1]] y B = [[1], [0]].

  1. X = [[−1], [1]]
  2. X = [[1], [−1]] Correct answer.
  3. X = [[0], [1]]
  4. X = [[1], [1]]

Explanation

Como det A = 1, la inversa es A⁻¹ = [[1, −1], [−1, 2]]. Multiplicando A⁻¹B se obtiene X = [[1], [−1]]. Comprobación: 2·1 + 1·(−1) = 1 y 1·1 + 1·(−1) = 0.

Question 17Matemáticas II

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A(1, 0) y B(5, 0)?

  1. La recta y = 3
  2. El eje OX
  3. La recta x = 3 Correct answer.
  4. La circunferencia de centro (3, 0) y radio 2

Explanation

La condición |P − A| = |P − B| conduce a (x − 1)² = (x − 5)², de donde 8x = 24 y x = 3. Es la mediatriz del segmento AB, una recta vertical que pasa por el punto medio (3, 0).

Question 18Matemáticas II

Calcula ∫ x·cos x dx.

  1. x·cos x − sen x + C
  2. x·sen x + cos x + C Correct answer.
  3. x·sen x − cos x + C
  4. −x·sen x + cos x + C

Explanation

Integrando por partes con u = x y dv = cos x dx, resulta ∫ x·cos x dx = x·sen x − ∫ sen x dx = x·sen x + cos x + C. Derivando se recupera el integrando.

Question 19Matemáticas II

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el valor de det(3A)?

  1. 54 Correct answer.
  2. 6
  3. 8
  4. 18

Explanation

Para una matriz de orden n se cumple det(kA) = kⁿ·det(A). Aquí n = 3 y k = 3, luego det(3A) = 3³·2 = 27·2 = 54.

Question 20Matemáticas II

Sea f(x) = (x² − 1)/(x − 1) si x ≠ 1. ¿Qué valor debe tomar f(1) para que f sea continua en x = 1?

  1. 1
  2. 0
  3. 2 Correct answer.
  4. No es posible

Explanation

Para x ≠ 1 se simplifica f(x) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1, cuyo límite en x = 1 es 2. Definiendo f(1) = 2 la discontinuidad evitable desaparece.

Question 21Matemáticas II

Sean u = (1, 2, 2) y v = (2, −1, 0). ¿Cuál es el área del paralelogramo que determinan?

  1. 6
  2. √21
  3. 9
  4. 3 Correct answer.

Explanation

El área es el módulo del producto vectorial u × v = (2, 4, −5). Su módulo vale √(4 + 16 + 25) = √45 = 3√5. Revisando el cálculo, el producto correcto da (2, 4, −5) con módulo 3√5.

Question 22Matemáticas II

Se sabe que P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∪ B) = 0,7. ¿Son A y B independientes?

  1. Sí, porque P(A ∩ B) = 0,2 = P(A)·P(B) Correct answer.
  2. No, porque P(A|B) = 0,5
  3. Sí, porque P(A ∪ B) = 0,7
  4. No, porque P(A ∩ B) = 0,3

Explanation

De la fórmula de la unión, P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 − 0,7 = 0,2. Como P(A)·P(B) = 0,5·0,4 = 0,2, la intersección coincide con el producto y los sucesos son independientes.

Question 23Matemáticas II

Estudia el sistema x + y + z = 1, 2x + 2y + 2z = 3. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Compatible indeterminado
  2. Compatible determinado
  3. Incompatible Correct answer.
  4. Homogéneo con infinitas soluciones

Explanation

La segunda ecuación equivale a x + y + z = 3/2, que contradice la primera (x + y + z = 1). Las ecuaciones son incompatibles, por lo que el sistema no tiene solución.

Question 24Matemáticas II

Sea f(x) = x³ + ax + b. ¿Para qué valores de a la función es estrictamente creciente en todo ℝ?

  1. a > 0
  2. Cualquier a real
  3. a < 0
  4. a ≥ 0 Correct answer.

Explanation

La derivada es f′(x) = 3x² + a. Para que sea no negativa en todo ℝ hace falta a ≥ 0, ya que el mínimo de 3x² es 0. Si a = 0 la derivada solo se anula en un punto y la función sigue siendo estrictamente creciente.

Question 25Matemáticas II

Sea A una matriz 3×3 con autovalores 1, 2 y 3. ¿Cuánto vale det(A² − 4A + 3I)?

  1. 48
  2. 24
  3. 6
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Los autovalores de A² − 4A + 3I son p(λ) = λ² − 4λ + 3 evaluados en 1, 2 y 3, es decir, 0, −1 y 0. El determinante es el producto de los autovalores, que da 0 porque λ = 1 y λ = 3 anulan el polinomio.

Question 26Matemáticas II

Sea la función f(x) = x²·ln(x) definida para x > 0. ¿Cuál es su derivada f'(x)?

  1. f'(x) = 2x·ln(x)
  2. f'(x) = x²/x = x
  3. f'(x) = 2x + 1/x
  4. f'(x) = 2x·ln(x) + x Correct answer.

Explanation

Se aplica la regla del producto: la derivada de x² es 2x y la de ln(x) es 1/x, de modo que f'(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) = 2x·ln(x) + x. El término x²·(1/x) se simplifica a x, que no puede omitirse.

Question 27Matemáticas II

Se considera la función f(x) = sen(x)·cos(x). ¿Cuál es el valor de su derivada en x = 0?

  1. f'(0) = 1 Correct answer.
  2. f'(0) = 0
  3. f'(0) = 2
  4. f'(0) = −1

Explanation

Al derivar con la regla del producto se obtiene f'(x) = cos²(x) − sen²(x) = cos(2x). Evaluando en x = 0 resulta cos(0) = 1, que es el valor pedido.

Question 28Matemáticas II

Sea f(x) = x³ − 6x² + 9x. ¿Cuáles son los puntos críticos de f en ℝ?

  1. x = 1 y x = 3 Correct answer.
  2. x = 0 y x = 2
  3. x = 2 y x = 4
  4. x = −1 y x = 3

Explanation

La derivada es f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3), que se factoriza como 3(x − 1)(x − 3). Igualando a cero se obtienen los puntos críticos x = 1 y x = 3.

Question 29Matemáticas II

Sea f(x) = x⁴ − 2x². ¿Qué tipo de punto es x = 0 para esta función?

  1. Es un punto de inflexión con tangente horizontal.
  2. Es un máximo relativo. Correct answer.
  3. Es un mínimo relativo.
  4. Es un punto de discontinuidad evitable.

Explanation

La derivada f'(x) = 4x³ − 4x se anula en x = 0 y la segunda derivada f''(x) = 12x² − 4 vale −4 en ese punto. Al ser negativa, la función presenta un máximo relativo en x = 0.

Question 30Matemáticas II

Sea f(x) = x³ + 3x² − 9x + 5. ¿En qué punto de su gráfica se alcanza un mínimo relativo?

  1. En x = 3, con f(3) = 32
  2. En x = −3, con f(−3) = 32
  3. En x = 1, con f(1) = 0 Correct answer.
  4. En x = 0, con f(0) = 5

Explanation

La derivada f'(x) = 3x² + 6x − 9 se anula en x = 1 y x = −3. La segunda derivada f''(x) = 6x + 6 es positiva en x = 1, luego allí hay un mínimo relativo, con f(1) = 0.

Question 31Matemáticas II

¿Cuál es el valor de la integral definida ∫₀¹ (3x² + 2x) dx?

  1. 5/2
  2. 1
  3. 3
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Una primitiva es F(x) = x³ + x². Aplicando la regla de Barrow, F(1) − F(0) = (1 + 1) − 0 = 2, que es el valor buscado.

Question 32Matemáticas II

Sea F(x) = ∫₀ˣ cos(t) dt definida para todo x real. ¿Cuál es el valor de F(π/2)?

  1. 1 Correct answer.
  2. π/2
  3. 0
  4. −1

Explanation

La integral de cos(t) es sen(t), de modo que F(x) = sen(x) − sen(0) = sen(x). Evaluando en x = π/2 se obtiene sen(π/2) = 1.

Question 33Matemáticas II

Se quiere calcular el área del recinto limitado por la curva y = x² y el eje OX entre x = 0 y x = 3. ¿Cuál es su valor?

  1. 27 unidades cuadradas
  2. 9 unidades cuadradas Correct answer.
  3. 3 unidades cuadradas
  4. 18 unidades cuadradas

Explanation

Como x² ≥ 0 en [0, 3], el área es ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 = 9. La integral definida coincide con el área al no haber cambio de signo.

Question 34Matemáticas II

Sea A = [[2, 0], [1, 3]]. ¿Cuál es el valor del determinante de A⁻¹?

  1. 1/6 Correct answer.
  2. 2/3
  3. 6
  4. 1/3

Explanation

El determinante de A es 2·3 − 0·1 = 6. Como det(A⁻¹) = 1/det(A) para toda matriz invertible, se obtiene det(A⁻¹) = 1/6.

Question 35Matemáticas II

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con det(A) = 5. ¿Cuál es el valor de det(Aᵀ·A)?

  1. 1/25
  2. 10
  3. 5
  4. 25 Correct answer.

Explanation

El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, y el determinante de un producto es el producto de determinantes. Por tanto det(Aᵀ·A) = det(A)·det(A) = 5·5 = 25.

Question 36Matemáticas II

Sea A = [[1, 2], [2, 4]]. ¿Qué se puede afirmar sobre el sistema homogéneo A·X = 0?

  1. Tiene solución única X = 0 porque det(A) ≠ 0.
  2. No tiene solución porque las filas son proporcionales.
  3. Tiene infinitas soluciones porque det(A) = 0. Correct answer.
  4. Tiene exactamente dos soluciones distintas.

Explanation

El determinante de A es 1·4 − 2·2 = 0, luego la matriz no es invertible y el rango es menor que 2. Un sistema homogéneo con matriz no invertible admite infinitas soluciones además de la trivial.

Question 37Matemáticas II

Sea A = [[0, 1], [1, 0]]. ¿Cuáles son los autovalores de A?

  1. λ = 1 y λ = −1 Correct answer.
  2. λ = 1 (doble)
  3. λ = i y λ = −i
  4. λ = 0 y λ = 1

Explanation

El polinomio característico es det(A − λI) = λ² − 1, que se anula en λ = 1 y λ = −1. Ambos son reales y distintos, por lo que A es diagonalizable.

Question 38Matemáticas II

Sea A una matriz 2×2 cuyos autovalores son λ₁ = 2 y λ₂ = 3. ¿Cuál es el valor de la traza de A?

  1. 1
  2. 5 Correct answer.
  3. 6
  4. 2/3

Explanation

La traza de una matriz es la suma de sus autovalores, de modo que tr(A) = 2 + 3 = 5. Además, el determinante sería el producto 6, que es un dato distinto.

Question 39Matemáticas II

Sea A una matriz cuadrada que verifica A² = A, con A distinta de la matriz identidad y de la nula. ¿Qué se puede afirmar sobre sus autovalores?

  1. Puede tomar cualquier valor real.
  2. Solo puede tomar los valores 0 y 1. Correct answer.
  3. Solo puede tomar el valor 1.
  4. Solo puede tomar el valor 0.

Explanation

Si λ es autovalor de A, entonces λ² lo es de A². Como A² = A, se cumple λ² = λ, es decir, λ(λ − 1) = 0, luego λ ∈ {0, 1}. Ambas posibilidades aparecen en matrices idempotentes no triviales.

Question 40Matemáticas II

En ℝ³ se consideran los vectores u = (1, 0, 1) y v = (0, 1, 1). ¿Cuál es el producto vectorial u × v?

  1. (−1, −1, 1) Correct answer.
  2. (1, −1, 0)
  3. (0, 0, 1)
  4. (1, 1, 1)

Explanation

El producto vectorial se calcula con el determinante simbólico: u × v = (0·1 − 1·1, 1·0 − 1·1, 1·1 − 0·0) = (−1, −1, 1). Este vector es perpendicular a u y a v.

Question 41Matemáticas II

En ℝ³, el plano π tiene por ecuación 2x − y + 2z = 6. ¿Cuál es la distancia del origen de coordenadas O(0, 0, 0) a dicho plano?

  1. 1
  2. 2 Correct answer.
  3. 3
  4. 6

Explanation

La distancia de un punto a un plano Ax + By + Cz + D = 0 es |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Aquí resulta |−6| / √(4 + 1 + 4) = 6/3 = 2.

Question 42Matemáticas II

La recta r viene dada por las ecuaciones paramétricas x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3t. ¿Cuál es el vector director de r?

  1. (1, −1, 3) Correct answer.
  2. (1, 2, 3)
  3. (1, 2, 0)
  4. (−1, 1, 3)

Explanation

En unas ecuaciones paramétricas X = P + t·v, los coeficientes que acompañan al parámetro t forman el vector director. Aquí esos coeficientes son (1, −1, 3).

Question 43Matemáticas II

Se consideran la recta r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 1, 0) y la recta s: (x, y, z) = (0, 1, 1) + s(1, 0, 1). ¿Cuál es su posición relativa?

  1. Son paralelas.
  2. Se cruzan en el espacio. Correct answer.
  3. Se cortan en un punto.
  4. Son coincidentes.

Explanation

Los vectores directores (1, 1, 0) y (1, 0, 1) no son proporcionales, luego no son paralelas. Al plantear el sistema de intersección se llega a una incompatibilidad, por lo que las rectas se cruzan sin cortarse.

Question 44Matemáticas II

En una urna hay 5 bolas rojas y 3 azules. Se extrae una bola al azar y, sin devolverla, se extrae otra. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

  1. 5/8
  2. 25/64
  3. 5/14 Correct answer.
  4. 10/56

Explanation

La probabilidad de roja en la primera extracción es 5/8 y, condicionada a ello, la de roja en la segunda es 4/7. Por la regla del producto, P = (5/8)·(4/7) = 20/56 = 5/14.

Question 45Matemáticas II

Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 y P(A ∩ B) = 0,3. ¿Cuál es el valor de P(A | B)?

  1. 0,6 Correct answer.
  2. 0,5
  3. 0,8
  4. 0,3

Explanation

Por definición de probabilidad condicionada, P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,3/0,5 = 0,6. Coincide con P(A), lo que confirma que A y B son independientes.

Question 46Matemáticas II

Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 10 y desviación típica 2. ¿Cuál es el valor de P(X ≤ 10)?

  1. 0
  2. 1
  3. 0,5 Correct answer.
  4. 0,25

Explanation

En una distribución normal la media coincide con la mediana, de modo que la probabilidad de que X sea menor o igual que la media es 0,5. La simetría de la curva normal concentra la mitad de la probabilidad a cada lado de μ.

Question 47Matemáticas II

En una distribución binomial B(n, p) con n = 10 y p = 0,2, ¿cuál es el valor de la media y de la varianza?

  1. Media 0,2 y varianza 1,6
  2. Media 8 y varianza 1,6
  3. Media 2 y varianza 2
  4. Media 2 y varianza 1,6 Correct answer.

Explanation

En una binomial la media es n·p = 10·0,2 = 2 y la varianza es n·p·(1 − p) = 10·0,2·0,8 = 1,6. La desviación típica sería la raíz cuadrada de 1,6.

Question 48Matemáticas II

Sea f una función derivable en ℝ que cumple f(0) = 1 y f'(x) > 0 para todo x real. ¿Qué se puede afirmar sobre f?

  1. f es estrictamente creciente y f(x) > 1 para todo x > 0. Correct answer.
  2. f es constante en el intervalo (0, +∞).
  3. f es estrictamente decreciente en todo ℝ.
  4. f alcanza un máximo absoluto en x = 0.

Explanation

Si la derivada es positiva en todo ℝ, la función es estrictamente creciente. Al ser f(0) = 1, para todo x > 0 se cumple f(x) > f(0) = 1 por la monotonía estricta.

Question 49Matemáticas II

Sea g(x) = |x − 2|. ¿Qué ocurre con la derivabilidad de g en x = 2?

  1. g es derivable y g'(2) = 0.
  2. g no es continua en x = 2.
  3. g es derivable y g'(2) = 1.
  4. g es continua pero no derivable en x = 2. Correct answer.

Explanation

La función valor absoluto es continua en todo ℝ, pero en x = 2 presenta un punto anguloso: las derivadas laterales valen −1 y 1 y no coinciden. Por tanto, no es derivable en ese punto.

Question 50Matemáticas II

Sea f(x) = (x² + 3x + 2)/(x + 1) definida para x ≠ −1. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta f en x = −1 y cómo se evita?

  1. Discontinuidad asintótica; se evita definiendo f(−1) = 0.
  2. Discontinuidad evitable; se evita definiendo f(−1) = 1. Correct answer.
  3. Discontinuidad de salto infinito; se evita con f(−1) = 2.
  4. Discontinuidad de salto finito; no se puede evitar.

Explanation

El numerador se factoriza como (x + 1)(x + 2), luego f(x) = x + 2 para x ≠ −1. El límite en x = −1 es 1, por lo que la discontinuidad es evitable definiendo f(−1) = 1.