PAU Mathematics II (Castilla-La Mancha) common mistakes
PAU Mathematics II (Castilla-La Mancha) · Understand the traps and how to avoid them.
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con parámetro (por ejemplo, discutir un sistema 3×3 con un parámetro λ), el candidato calcula el determinante de la matriz de coeficientes, lo iguala a cero, y luego solo analiza los valores que anulan el determinante, sin estudiar el comportamiento del sistema en esos casos singulares (rango de la matriz ampliada, compatibilidad).
Los apuntes y ejercicios tipo suelen centrarse en el cálculo del determinante como condición de compatibilidad, de modo que el estudiante memoriza «det ≠ 0 → compatible determinado» y no interioriza que los casos det = 0 requieren un estudio separado con rangos. La prisa por dar por terminado el problema cuando ya ha salido un valor de λ refuerza el hábito.
What to do instead
Antes de calcular nada, escribir un guion fijo de discusión: (1) det(A) y sus raíces; (2) para cada raíz, sustituir en la matriz ampliada y calcular rangos por menores; (3) clasificar con Rouché–Fröbenius y, si procede, resolver. Practicar con sistemas donde el caso singular dé compatible indeterminado y también incompatible, y verificar siempre el caso singular sustituyendo un valor concreto.
Al calcular una integral definida o indefinida, el candidato aplica la regla de Barrow directamente sobre una función con discontinuidades o con valor absoluto en el integrando, sin dividir el intervalo ni comprobar la continuidad, y obtiene un valor que no distingue del área real.
El cálculo mecánico de primitivas se entrena mucho, pero la interpretación geométrica y las condiciones de integrabilidad se trabajan poco. El estudiante ve una integral y busca la primitiva antes de preguntarse si la función es continua en el intervalo o si el integrando cambia de signo, porque así lo ha hecho en la mayoría de ejercicios resueltos.
What to do instead
Adoptar la rutina: (1) estudiar dominio y continuidad del integrando en el intervalo; (2) localizar ceros y puntos de discontinuidad; (3) trocear el intervalo y aplicar Barrow en cada trozo; (4) en áreas entre curvas, plantear |f − g| o estudiar el signo de f − g. Hacer ejercicios con valor absoluto y con asíntotas verticales dentro del intervalo para que el hábito se automatice.
En un problema de optimización (máximos y mínimos de una función de una o varias variables), el candidato deriva, iguala a cero y da por buenos los puntos críticos sin comprobar que pertenecen al dominio del problema ni sin verificar la naturaleza del extremo (segunda derivada, signo alrededor o Hessiano).
El cálculo de la derivada y la resolución de la ecuación f′(x) = 0 es la parte que más se practica; la verificación del extremo y la restricción al dominio físico se perciben como un trámite. Además, en problemas con restricciones geométricas (dimensiones positivas, ángulos en un rango) el estudiante olvida que el dominio está restringido.
What to do instead
Escribir explícitamente el dominio de la función objetivo antes de derivar (por ejemplo, x > 0, 0 < θ < π/2). Tras obtener los puntos críticos, descartar los que no estén en el dominio y clasificar cada uno con el criterio adecuado, indicando por qué es máximo o mínimo. Terminar respondiendo a la pregunta del enunciado con las unidades y comprobando que el resultado es razonable.
Al calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto, o al estudiar la posición relativa de rectas y planos, el candidato confunde vector director con vector normal, o usa el punto de tangencia como punto de la recta pero toma como dirección el vector normal al plano en lugar de la dirección de la curva.
Los conceptos de vector director, vector normal y vector de posición se presentan juntos y con notación similar; en geometría del espacio el estudiante memoriza fórmulas (ecuación del plano, ecuación de la recta) sin distinguir qué papel juega cada vector. La presión de examen hace que se elija el vector «que aparece» en el enunciado.
What to do instead
Antes de escribir la ecuación, etiquetar en el borrador qué es cada dato: punto de paso, vector director, vector normal, y comprobar la dimensionalidad (una recta en el espacio necesita un punto y un director; un plano, un punto y un normal). Para la tangente, recordar que el director es (1, f′(a)) en el plano y que el normal a la curva es (−f′(a), 1). Verificar la ecuación sustituyendo el punto de tangencia.
Al resolver un problema de probabilidad condicionada o de probabilidad total, el candidato identifica mal el suceso condicionante: calcula P(A∩B) cuando se pide P(A|B), o aplica la fórmula de la probabilidad total sin comprobar que los sucesos forman una partición del espacio muestral.
La notación P(A|B) y P(A∩B) se lee rápido y el estudiante tiende a operar con los números del enunciado sin traducir la frase «sabiendo que», «dado que» o «si se sabe que» a una condicional. La fórmula de la probabilidad total se memoriza como suma de productos sin verificar la partición.
What to do instead
Antes de calcular, escribir el suceso pedido en notación de conjuntos y subrayar en el enunciado las expresiones condicionales. Comprobar que los sucesos de la partición son incompatibles dos a dos y que su unión es el espacio muestral. Usar un diagrama de árbol etiquetando cada rama con su probabilidad condicionada y verificar que la suma de las ramas de cada nodo es 1.
Al estudiar la continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos con un parámetro, el candidato iguala los límites laterales para la continuidad pero no impone la igualdad de las derivadas laterales para la derivabilidad, o deriva cada trozo y evalúa en el punto sin comprobar antes la continuidad.
La derivabilidad se asocia a «derivar» y la continuidad a «límites», y el estudiante trata ambos como trámites independientes. En muchos ejercicios resueltos solo se pide continuidad, lo que refuerza la omisión del paso de derivabilidad. Además, la condición necesaria (derivable ⇒ continua) se olvida como filtro previo.
What to do instead
Seguir siempre el orden: (1) continuidad en el punto de unión mediante límites laterales; (2) si es continua, derivabilidad mediante límites laterales de la derivada o derivadas laterales; (3) si no es continua, concluir directamente que no es derivable. Practicar con funciones donde la continuidad se cumple pero la derivabilidad falla (por ejemplo, con un valor absoluto o un cambio de pendiente) para ver la diferencia.
Al resolver un problema de geometría métrica en el espacio (distancia entre rectas, ángulo entre planos, proyección ortogonal), el candidato aplica la fórmula de la distancia o del ángulo sin comprobar previamente la posición relativa de los elementos (paralelos, secantes, que se cruzan), y usa la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan incluso cuando son paralelas o secantes.
Las fórmulas de distancia y ángulo se memorizan como recetas y el análisis de la posición relativa se percibe como un paso previo innecesario. El estudiante no relaciona que la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan presupone esa posición relativa, y en examen opta por la fórmula más llamativa.
What to do instead
Antes de calcular, clasificar la posición relativa: comparar vectores directores (paralelos o no) y estudiar el sistema formado por las ecuaciones (compatible o incompatible). Solo entonces elegir la fórmula: distancia punto–recta para rectas paralelas, distancia punto–plano o producto mixto para las que se cruzan, y 0 para secantes. Escribir la justificación de la elección en el examen.
Al resolver un problema de matrices (potencias de una matriz, matriz inversa, ecuaciones matriciales), el candidato opera con matrices como si fueran números: no respeta el orden del producto (AB ≠ BA), divide por una matriz en lugar de multiplicar por la inversa, o distribuye mal en expresiones como (A + B)².
El álgebra matricial se introduce después del álgebra numérica y el estudiante arrastra intuiciones numéricas (conmutatividad, cancelación, desarrollo de binomios) que no son válidas. La falta de práctica con contraejemplos hace que estos errores pasen desapercibidos hasta el examen.
What to do instead
Escribir siempre las propiedades que se usan al lado de cada paso: AB ≠ BA en general, no se puede dividir, (A + B)² = A² + AB + BA + B². En ecuaciones matriciales, despejar multiplicando por la inversa por el lado correcto y comprobar la solución sustituyendo. Practicar con matrices 2×2 concretas que muestren la no conmutatividad.
Al resolver un problema de rectas y planos, el candidato obtiene una solución paramétrica y no la interpreta: no distingue si el sistema tiene solución única, infinitas soluciones (recta o plano) o ninguna, y no relaciona el número de parámetros libres con la dimensión del conjunto solución.
La resolución de sistemas por Gauss se mecaniza y el estudiante se queda en «he llegado a esta expresión» sin volver al enunciado geométrico. La conexión entre rango, parámetros libres y dimensión (punto, recta, plano) no se trabaja lo suficiente, y en examen prima terminar el cálculo.
What to do instead
Al final de cada sistema, escribir explícitamente: «rango(A) = rango(A*) = k, incógnitas n, luego dimensión del conjunto solución = n − k», e identificar el objeto geométrico resultante. Expresar la solución en forma paramétrica con un parámetro por cada grado de libertad y comprobar sustituyendo en las ecuaciones originales.
Al calcular límites, el candidato aplica reglas de forma mecánica (por ejemplo, sustituye y obtiene 0/0, o ∞/∞) y usa L'Hôpital sin comprobar las hipótesis, o no identifica indeterminaciones del tipo 1^∞, ∞ − ∞ o 0·∞, dando un resultado numérico erróneo.
Las reglas de límites se aprenden como lista de casos y el estudiante no clasifica la indeterminación antes de elegir la técnica. L'Hôpital se percibe como comodín y se aplica a cocientes que no cumplen las condiciones (por ejemplo, cuando el límite del cociente de derivadas no existe).
What to do instead
Antes de operar, sustituir y clasificar la indeterminación por escrito (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞, 1^∞, 0^0, ∞^0). Elegir la técnica adecuada: factorización o racionalización para cocientes polinómicos, logaritmos para potencias, y L'Hôpital solo tras verificar 0/0 o ∞/∞ y que las funciones son derivables en un entorno. Comprobar el resultado con límites laterales cuando sea necesario.