PAU Mathematics II (Castilla-La Mancha) flashcards

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Determinante de matriz 3x3

Escalar que se calcula con la regla de Sarrus o por desarrollo por adjuntos de una fila o columna; es cero si y solo si las filas o columnas son linealmente dependientes.

Rango de una matriz

Número máximo de filas o columnas linealmente independientes; coincide con el orden del mayor menor no nulo y se obtiene por eliminación gaussiana.

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes iguala al de la ampliada; es determinado si ese rango común iguala el número de incógnitas.

Matriz inversa 2x2

Para A = [[a,b],[c,d]] con determinante ad−bc distinto de cero, la inversa es (1/(ad−bc))·[[d,−b],[−c,a]]; si el determinante es cero no existe inversa.

Sistema homogéneo

Sistema con todos los términos independientes nulos; siempre es compatible, al menos con la solución trivial, y tiene infinitas soluciones si el rango es menor que el número de incógnitas.

Producto escalar y perpendicularidad

u·v = u1v1+u2v2+u3v3 = |u||v|cos θ; dos vectores son perpendiculares exactamente cuando su producto escalar es cero.

Producto vectorial

u×v es un vector perpendicular a ambos cuyo módulo es |u||v|sen θ e igual al área del paralelogramo que determinan; es nulo si son paralelos.

Ecuación general del plano

Ax+By+Cz+D=0, donde (A,B,C) es un vector normal al plano; un punto P pertenece al plano si sus coordenadas satisfacen la ecuación.

Distancia punto-plano

d(P,π) = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²) para el plano Ax+By+Cz+D=0 y el punto (x0,y0,z0).

Posiciones relativas de rectas

Dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o cruzarse; el estudio se hace con los vectores directores y el vector que une un punto de cada una.

Ángulo entre recta y plano

Si α es el ángulo entre el vector director de la recta y la normal del plano, el ángulo recta-plano es 90°−α, calculado con valor absoluto del coseno.

Límite de función en un punto

Valor L al que se aproximan las imágenes cuando x tiende a x0; existe si los límites laterales coinciden e igualan L, independientemente del valor f(x0).

Continuidad en un punto

f es continua en x0 si existe f(x0), existe el límite en x0 y ambos son iguales; la discontinuidad puede ser evitable, de salto finito o infinita.

Derivada como tasa de cambio

f'(x0) es el límite del cociente incremental; geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto x0.

Regla de la cadena

Si h(x)=f(g(x)), entonces h'(x)=f'(g(x))·g'(x); imprescindible en funciones compuestas como exponenciales, logaritmos, raíces y trigonométricas.

Condición de extremo relativo

Si f es derivable y tiene extremo relativo en x0, entonces f'(x0)=0; el recíproco es falso, por lo que hay que estudiar el signo de f' o el de f''.

Criterio de la segunda derivada

Con f'(x0)=0, si f''(x0)<0 hay máximo relativo, si f''(x0)>0 hay mínimo relativo; si f''(x0)=0 el criterio no decide.

Teorema de Rolle

Si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b), existe al menos un c en (a,b) con f'(c)=0.

Teorema del valor medio

Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe c en (a,b) tal que f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a), pendiente media igual a tangente.

Regla de L'Hôpital

Para indeterminaciones 0/0 o ∞/∞, el límite del cociente f/g es el límite de f'/g' si este existe; antes hay que transformar otras indeterminaciones.

Integral definida y área

La integral de f entre a y b mide el área con signo; el área entre la curva y el eje OX se obtiene integrando |f|, partiendo donde f cambia de signo.

Teorema fundamental del cálculo

Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva suya, entonces la integral de f entre a y b es F(b)−F(a); conecta derivación e integración.

Integración por partes

∫u dv = uv − ∫v du; se elige u como la función que se simplifica al derivar, por ejemplo polinomio frente a exponencial o logaritmo.

Área entre dos curvas

Se calcula integrando (f−g) entre los puntos de corte, donde f es la curva superior; hay que resolver f(x)=g(x) para fijar los límites.

Regla de Barrow

Aplicación directa del teorema fundamental: se busca una primitiva F de la función integrando y se evalúa F(b)−F(a) en los extremos del intervalo.

Probabilidad condicionada

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), con P(B)>0; expresa la probabilidad de A cuando se sabe que ha ocurrido B y reduce el espacio muestral a B.

Independencia de sucesos

A y B son independientes si P(A∩B)=P(A)·P(B); equivalen a P(A|B)=P(A) y no deben confundirse con sucesos incompatibles, que tienen intersección vacía.

Teorema de la probabilidad total

Si los sucesos Bi forman una partición, P(A) = Σ P(Bi)·P(A|Bi); se usa cuando el suceso A se alcanza por varias vías excluyentes.

Teorema de Bayes

P(Bi|A) = P(Bi)·P(A|Bi) / Σ P(Bj)·P(A|Bj); invierte la condicional y permite actualizar la probabilidad de una causa tras observar A.

Distribución binomial

Modela el número de éxitos en n pruebas independientes con probabilidad p constante: P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), con media np y varianza np(1−p).

Distribución normal y tipificación

Si X sigue N(μ,σ), entonces Z=(X−μ)/σ sigue N(0,1); las probabilidades se obtienen con la tabla normal estándar y la simetría.

Aproximación binomial por normal

Para n grande y np y n(1−p) mayores que 5, la binomial se aproxima por N(np, √(np(1−p))), aplicando corrección por continuidad de ±0,5.

Intervalo de confianza para la media

Con desviación típica poblacional conocida: x̄ ± z(α/2)·σ/√n; el nivel de confianza indica la proporción de intervalos que contendrían la media.

Contraste de hipótesis

Se plantea H0 frente a H1, se fija el nivel de significación α y se decide con la región crítica o el p-valor; un p-valor menor que α lleva a rechazar H0.