Cables tensores de una pasarela: cruce, separación y plano de la placa
Dos cables tensores de una pasarela peatonal se modelan, en metros, como las rectas r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + t(2, -1, 1) y s: (x, y, z) = (0, 1, 2) + u(1, 1, 1). Los anclajes previstos son A(1, 1, 0) en el cable r y B(0, 1, 2) en el cable s. La normativa de la obra exige que dos cables no conectados entre sí guarden una separación mínima de 2,5 m en cualquier punto, y el aparejador sospecha que estos dos no la cumplen. Además, el proyecto prevé una placa metálica plana que contenga por completo el cable r y sea paralela al cable s, sin cortarlo, para lo que hace falta su ecuación general. Por último, un técnico de mantenimiento trabaja sobre una plataforma situada en el punto P(3, 2, 1) y solo dispone de un arnés de 3 m de longitud, medidos hasta el punto del cable r más próximo a él.
1. Estudia la posición relativa de r y s y calcula la distancia mínima entre los dos cables. ¿Se cumple la separación de 2,5 m exigida por la normativa?
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Vectores directores. d_r = (2, -1, 1), d_s = (1, 1, 1). No son proporcionales, luego o se cortan o se cruzan.
Producto vectorial. d_r × d_s = |i j k; 2 -1 1; 1 1 1| = ((-1)·1 − 1·1, 1·1 − 2·1, 2·1 − (-1)·1) = (-2, -1, 3).
Producto mixto. Vector entre anclajes A(1, 1, 0) y B(0, 1, 2): AB = (-1, 0, 2). AB · (d_r × d_s) = (-1)(-2) + 0·(-1) + 2·3 = 2 + 6 = 8 ≠ 0. Al no ser coplanarios, las rectas se cruzan (no existe punto de corte).
Distancia. d(r, s) = |AB · (d_r × d_s)| / |d_r × d_s| = 8 / √(4 + 1 + 9) = 8/√14 = 4√14/7 ≈ 2,14 m.
Interpretación. 2,14 m < 2,5 m: la normativa no se cumple. La separación mínima se alcanza en el segmento de perpendicular común, no entre los anclajes A y B, de modo que medir la distancia entre anclajes (√(1 + 0 + 4) ≈ 2,24 m) daría un valor distinto y engañoso. Hay que separar los trazados o interconectar los cables para que dejen de ser elementos independientes.
2. Halla la ecuación general del plano que contiene al cable r y es paralelo al cable s. Comprueba que s no está contenida en ese plano y relaciona el resultado con la distancia calculada antes.
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Vector normal. El plano contiene la dirección de r y es paralelo a s, luego su normal es n = d_r × d_s = (-2, -1, 3); tomamos el opuesto (2, 1, -3) para trabajar con enteros positivos.
Ecuación. Con el punto A(1, 1, 0) de r: 2(x − 1) + 1(y − 1) − 3(z − 0) = 0 → 2x + y − 3z − 3 = 0, es decir, 2x + y − 3z = 3.
Comprobación de que r está contenida. Un punto genérico de r es (1 + 2t, 1 − t, t): 2(1 + 2t) + (1 − t) − 3t = 2 + 4t + 1 − t − 3t = 3, idéntico para todo t.
Comprobación de que s no está contenida. Sustituyendo B(0, 1, 2): 0 + 1 − 6 = -5 ≠ 3. Como s es paralela al plano y tiene un punto fuera de él, la recta es estrictamente paralela y exterior al plano.
Relación con la distancia. La distancia de B al plano es |−5 − 3|/√(4 + 1 + 9) = 8/√14 ≈ 2,14 m, exactamente la distancia entre las rectas: al ser r paralela al plano y s paralela a r, la separación entre r y s coincide con la de cualquier punto de s al plano. El cálculo sirve como verificación cruzada del apartado anterior.
3. Calcula la distancia del punto P(3, 2, 1) a la recta r, indica cuál es el punto de r más próximo y decide si el arnés de 3 m permite alcanzar el cable.
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Método 1: producto vectorial. AP = P − A = (3 − 1, 2 − 1, 1 − 0) = (2, 1, 1). AP × d_r = |i j k; 2 1 1; 2 -1 1| = (1·1 − 1·(-1), 1·2 − 2·1, 2·(-1) − 1·2) = (2, 0, -4). d(P, r) = |AP × d_r| / |d_r| = √20 / √6 = 2√5/√6 = √30/3 ≈ 1,83 m.
Método 2: proyección (da además el punto más próximo). Parámetro del pie de perpendicular: t = AP · d_r / |d_r|² = (2·2 + 1·(-1) + 1·1)/6 = 4/6 = 2/3. Punto de r más próximo: Q = (1, 1, 0) + (2/3)(2, -1, 1) = (7/3, 1/3, 2/3). Distancia: |P − Q| = |(2/3, 5/3, 1/3)| = √(4/9 + 25/9 + 1/9) = √30/3 ≈ 1,83 m, coincidente con el método anterior.
Decisión. 1,83 m < 3 m, así que el arnés llega con holgura al punto Q del cable r. Conviene precisar en el informe que la distancia relevante es a la recta r, no al anclaje A (que está a |AP| = √6 ≈ 2,45 m), y que el margen real es de unos 1,17 m, suficiente para trabajar pero insuficiente para compensar una desviación del punto de anclaje de la plataforma superior a ese valor.