Cajas de cartón: optimizar con una restricción de altura y comparar formatos
Una empresa de packaging dispone de planchas de cartón de 30 cm × 16 cm para fabricar cajas sin tapa: se recorta un cuadrado de lado x en cada esquina y se doblan las pestañas. El cliente exige que la caja tenga al menos 3,5 cm de altura para que quepa el producto, y paga 0,0035 € por cada cm³ de capacidad. El cartón cuesta 0,0015 € por cm² de plancha, se aproveche o no. El proveedor habitual se ha quedado sin planchas de 30 × 16 y ofrece, al mismo precio por cm², planchas de 24 cm × 24 cm; el jefe de taller desconfía: «la plancha cuadrada es más grande, pero en las esquinas se tira mucho cartón». Antes de decidir, pide comparar el beneficio por caja en los dos formatos respetando en ambos la altura mínima de 3,5 cm, y saber cuánto se pierde por culpa de esa restricción de altura en el formato habitual.
1. Para la plancha de 30 cm × 16 cm, expresa el volumen V(x) de la caja, determina su dominio admisible con la restricción de altura x ≥ 3,5 cm y calcula el valor de x que maximiza el volumen.
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Función objetivo. La base mide (30 − 2x) por (16 − 2x) y la altura es x: V(x) = x(30 − 2x)(16 − 2x) = 4x³ − 92x² + 480x.
Dominio. Deben ser positivas las tres dimensiones: x > 0, 30 − 2x > 0 y 16 − 2x > 0, es decir 0 < x < 8. Añadiendo la restricción del cliente, el dominio admisible es 3,5 ≤ x < 8.
Optimización. V'(x) = 12x² − 184x + 480 = 4(3x² − 46x + 120). Raíces: x = [46 ± √(2116 − 1440)]/6 = (46 ± 26)/6 → x = 12 y x = 10/3 ≈ 3,33. Ninguna de las dos cae en [3,5, 8): x = 12 está fuera del dominio físico y 10/3 es menor que 3,5. Como V' es una parábola abierta hacia arriba sin ceros en el intervalo, su signo es constante; evaluando en x = 3,5: V'(3,5) = 4(3·12,25 − 46·3,5 + 120) = 4(36,75 − 161 + 120) = -17 < 0. V es estrictamente decreciente en todo el dominio admisible, luego el máximo se alcanza en el extremo izquierdo: x = 3,5 cm, V(3,5) = 3,5 · 23 · 9 = 724,5 cm³. Sin restricción de altura el óptimo sería x = 10/3, pero la condición del cliente lo desplaza al borde del intervalo: es un máximo de frontera, no un punto crítico.
2. Repite el cálculo para la plancha de 24 cm × 24 cm, obtén el beneficio por caja en cada formato y decide cuál conviene. ¿Tenía razón el jefe de taller al desconfiar de la plancha cuadrada?
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Formato 24 × 24. V(x) = x(24 − 2x)², con 3,5 ≤ x < 12. V'(x) = (24 − 2x)² + x·2(24 − 2x)·(-2) = (24 − 2x)[(24 − 2x) − 4x] = (24 − 2x)(24 − 6x). Ceros: x = 12 (borde, volumen nulo) y x = 4. Como 4 ∈ [3,5, 12) y V' pasa de positiva a negativa (para x < 4 el segundo factor es positivo), es un máximo: V(4) = 4 · 16² = 1024 cm³.
Beneficio por caja (ingresos − coste del cartón).
- Plancha 30 × 16: ingresos 724,5 · 0,0035 = 2,536 €; coste 480 · 0,0015 = 0,720 €; beneficio ≈ 1,816 €.
- Plancha 24 × 24: ingresos 1024 · 0,0035 = 3,584 €; coste 576 · 0,0015 = 0,864 €; beneficio ≈ 2,720 €.
Conclusión. La plancha cuadrada es claramente mejor: +0,90 € por caja, un 50 % más de beneficio, y también gana en beneficio por cm² de cartón (1,816/480 ≈ 0,0038 frente a 2,720/576 ≈ 0,0047 €/cm²). El razonamiento del jefe de taller es incorrecto: el desperdicio de las esquinas existe, pero la forma cuadrada permite una altura óptima mayor (x = 4 frente a x = 3,5) y una base más próxima al cuadrado, con lo que la relación volumen/cartón sube de 724,5/480 ≈ 1,51 a 1024/576 ≈ 1,78 cm³ por cm². No hay que mirar el área de la plancha, sino el volumen obtenido por unidad de cartón.
3. ¿Cuánto volumen se pierde en el formato de 30 × 16 cm por exigir una altura mínima de 3,5 cm? Expresa la pérdida en valor absoluto y en porcentaje, y compárala con lo que ocurre en el formato cuadrado.
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Óptimo sin restricción (30 × 16). Es x = 10/3 cm, valor que ya se obtuvo al resolver V'(x) = 0: V(10/3) = (10/3)(30 − 20/3)(16 − 20/3) = (10/3)(70/3)(28/3) = 19600/27 ≈ 725,93 cm³.
Pérdida por la restricción. 725,93 − 724,5 = 1,43 cm³, es decir un 0,20 % del volumen óptimo. En dinero supone 1,43 · 0,0035 ≈ 0,005 € por caja.
Caso cuadrado. El óptimo x = 4 cm ya cumple x ≥ 3,5, por lo que la restricción no está activa y la pérdida es nula: la condición de altura solo recorta el formato rectangular.
Lectura de ingeniería. La restricción del cliente es casi inocua en el formato habitual (dos décimas por ciento): no compensa rediseñar la caja por ella. El verdadero salto de calidad está en cambiar de formato de plancha. Conviene además señalar que el máximo sin restricción es muy plano en las proximidades de x = 10/3, de modo que pequeñas variaciones de x apenas cambian el volumen y el corte puede fijarse en 3,5 cm sin coste apreciable, lo que simplifica el utillaje.