Concentración de un antibiótico: máximo, valor medio y ventana de eficacia
Tras una perfusión intravenosa, la concentración en sangre de un antibiótico, medida en mg/L, sigue la función C(t) = t·e^(−t/2), donde t ≥ 0 son las horas transcurridas desde el final de la perfusión. El protocolo del hospital considera que el tratamiento es eficaz únicamente mientras C(t) ≥ 0,5 mg/L, y el servicio de farmacia debe decidir cada cuánto repetir la dosis: si el fármaco deja de ser eficaz demasiado pronto hay que adelantar la administración; si se acumula, aparecen efectos secundarios. La ficha técnica solo aporta la expresión de C(t) y advierte de que la concentración máxima no debe superar 1 mg/L. Farmacia quiere además un dato global para el informe de calidad: la concentración media en las seis primeras horas, calculada como el valor medio de la función en el intervalo [0, 6]. No se dispone de software de representación gráfica, solo de calculadora científica.
1. Determina en qué instante se alcanza la concentración máxima, su valor y comprueba si se respeta el límite de 1 mg/L de la ficha técnica. Estudia también el comportamiento en los extremos del dominio.
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Derivada. Aplicando la regla del producto: C'(t) = 1·e^(−t/2) + t·(−1/2)·e^(−t/2) = e^(−t/2)·(1 − t/2). Como e^(−t/2) > 0 siempre, el signo lo fija (1 − t/2):
- C'(t) > 0 para 0 ≤ t < 2 (crece),
- C'(2) = 0,
- C'(t) < 0 para t > 2 (decrece). Por el criterio de la primera derivada hay un máximo relativo en t = 2, y al ser el único punto crítico y cambiar el signo una sola vez, es el máximo absoluto en [0, +∞).
Valor máximo. C(2) = 2·e^(−1) = 2/e ≈ 0,736 mg/L.
Extremos. C(0) = 0 · 1 = 0 (la concentración es nula justo al terminar la perfusión según el modelo). Y como la exponencial decae más rápido de lo que crece el factor t, lim(t→+∞) t·e^(−t/2) = 0: la concentración vuelve asintóticamente a cero.
Conclusión. El máximo, 0,736 mg/L, queda por debajo de 1 mg/L, de modo que la pauta es segura según la ficha técnica, aunque el margen es estrecho: un aumento de dosis superior al 36 % haría superar el umbral.
2. Calcula la concentración media en las seis primeras horas mediante integración y valora si ese valor medio es un buen resumen de la eficacia del tratamiento.
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Planteamiento. El valor medio de C en [0, 6] es C̄ = (1/6)·∫₀⁶ t·e^(−t/2) dt.
Integración por partes. Con u = t, dv = e^(−t/2) dt, se tiene du = dt y v = −2e^(−t/2): ∫ t·e^(−t/2) dt = −2t·e^(−t/2) + 2∫ e^(−t/2) dt = −2t·e^(−t/2) − 4e^(−t/2) = (−2t − 4)e^(−t/2). Comprobación por derivación: d/dt[(−2t − 4)e^(−t/2)] = −2e^(−t/2) + (−2t − 4)(−1/2)e^(−t/2) = e^(−t/2)(−2 + t + 2) = t·e^(−t/2). Correcto.
Cálculo. ∫₀⁶ = (−12 − 4)e^(−3) − (−4)e⁰ = 4 − 16e^(−3) ≈ 4 − 0,7966 = 3,2034. C̄ = 3,2034/6 ≈ 0,534 mg/L.
Valoración. El valor medio (0,534) supera por muy poco el umbral de 0,5, pero es un resumen engañoso: al principio y al final del intervalo la concentración está por debajo de 0,5, y solo en la zona central se supera. Un promedio que roza el umbral no garantiza eficacia sostenida; para el informe conviene acompañarlo de la ventana temporal de eficacia, que es lo que se calcula en el apartado siguiente.
3. Determina, con precisión de una décima de hora, el intervalo de tiempo durante el cual la concentración es al menos 0,5 mg/L. ¿Cada cuánto tiempo, como máximo, debe repetirse la dosis?
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Función auxiliar. g(t) = t·e^(−t/2) − 0,5, continua en [0, +∞) por ser suma de funciones continuas.
Primer corte (subida). g(0) = −0,5 < 0; g(1) = e^(−0,5) − 0,5 = 0,6065 − 0,5 = 0,1065 > 0. Por el teorema de Bolzano existe una raíz en (0, 1). Acotando: g(0,7) = 0,7·0,7047 − 0,5 = 0,4933 − 0,5 < 0; g(0,8) = 0,8·0,6703 − 0,5 = 0,5363 − 0,5 > 0. La raíz está en (0,7; 0,8), es decir t ≈ 0,7 h.
Segundo corte (bajada). g(4) = 4·0,1353 − 0,5 = 0,5413 − 0,5 > 0; g(5) = 5·0,0821 − 0,5 = 0,4104 − 0,5 < 0. Bolzano da una raíz en (4, 5). Acotando: g(4,2) = 4,2·0,1225 − 0,5 = 0,5143 − 0,5 > 0; g(4,4) = 4,4·0,1108 − 0,5 = 0,4875 − 0,5 < 0. La raíz está en (4,2; 4,4), es decir t ≈ 4,3 h.
Interpretación. La concentración es eficaz aproximadamente entre t = 0,7 h y t = 4,3 h, una ventana de unas 3,6 horas (bastante menos que las 6 horas del informe). Como la función crece hasta t = 2 y decrece después, solo hay dos cortes y la ventana es única. Conclusión práctica: la dosis debe repetirse antes de las 4,3 horas, no antes: administrar a las 3 horas sería seguro pero innecesario, y esperar a las 5 dejaría al paciente sin cobertura durante unos 40 minutos.