Dos líneas de llenado: probabilidad total, muestreo e intervalo de confianza
Una embotelladora de agua mineral cuenta con dos líneas de llenado. La línea A produce el 60 % de la producción total, con una tasa histórica de botellas defectuosas del 2 %; la línea B produce el 40 % restante, con una tasa histórica del 5 %. Las botellas de ambas líneas se mezclan en el almacén sin identificación de origen. El jefe de calidad ha recibido una queja del cliente y quiere cuantificar el problema. En paralelo, el servicio técnico ha revisado 400 botellas de la línea B y ha encontrado 24 defectuosas (un 6 %), lo que ha encendido las alarmas: si la línea B se ha degradado, habrá que pararla, con el coste que eso supone. La dirección pide un intervalo de confianza del 95 % para la proporción real de defectuosas de la línea B antes de tomar ninguna decisión, y recuerda que no se puede afirmar nada sobre un cambio de tendencia sin ese intervalo.
1. Calcula la probabilidad de que una botella elegida al azar en el almacén sea defectuosa y la probabilidad de que, sabiendo que es defectuosa, proceda de la línea B. Interpreta el resultado para el jefe de calidad.
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Sucesos. A = «procede de la línea A», B = «procede de la línea B», D = «defectuosa». Datos: P(A) = 0,60, P(D|A) = 0,02; P(B) = 0,40, P(D|B) = 0,05.
Probabilidad total. P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) = 0,60·0,02 + 0,40·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Es decir, un 3,2 % de la producción es defectuosa.
Teorema de Bayes. P(B|D) = P(B)·P(D|B)/P(D) = 0,020/0,032 = 0,625. El 62,5 % de las botellas defectuosas sale de la línea B, aunque B solo fabrica el 40 % del total.
Interpretación. La línea B aporta casi dos de cada tres defectos: es el foco del problema, y lo es por su tasa (2,5 veces la de A) más que por su volumen. Un cálculo útil para decidir: si B se corrigiera hasta el 2 % de A, la tasa global bajaría a 0,60·0,02 + 0,40·0,02 = 0,02, un 2 %, reduciendo los defectos un 37,5 %. Al revés, si empeorase A hasta el 5 %, el global sería 0,05, peor que la situación actual.
2. Se toma una muestra de 10 botellas del almacén. Calcula la probabilidad de que al menos una sea defectuosa. ¿Cuántas botellas habría que revisar para que esa probabilidad superase el 95 %?
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Modelo. X = número de defectuosas en 10 botellas, X ~ B(10; 0,032), admitiendo independencia y que el almacén es lo bastante grande para considerar constante la proporción.
Al menos una. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,968¹⁰. 0,968¹⁰ = e^(10·ln 0,968) = e^(10·(−0,032523)) = e^(−0,32523) ≈ 0,7224. P(X ≥ 1) ≈ 1 − 0,7224 = 0,2776, es decir un 27,8 %.
Tamaño de muestra para superar el 95 %. 1 − 0,968ⁿ ≥ 0,95 → 0,968ⁿ ≤ 0,05 → n·ln 0,968 ≤ ln 0,05 → n ≥ (−2,9957)/(−0,032523) ≈ 92,1. Hay que revisar n = 93 botellas (con 92 la probabilidad sería 1 − 0,968⁹² ≈ 0,9497, todavía por debajo).
Observación. El cálculo usa la tasa global del 3,2 %, que ya incorpora la mezcla de líneas; si el control se hiciera solo sobre la línea B (p = 0,05) el resultado sería distinto: 0,95ⁿ ≤ 0,05 daría n = 59. Mezclar orígenes en el muestreo encarece la detección, otro argumento para controlar por línea.
3. Construye un intervalo de confianza del 95 % para la proporción real de defectuosas de la línea B a partir de las 400 botellas revisadas, con 24 defectuosas. ¿Hay evidencia suficiente para parar la línea? Justifica la decisión con el intervalo.
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Estimación puntual. p̂ = 24/400 = 0,06.
Intervalo para una proporción (aproximación normal). Error típico: SE = √(p̂(1 − p̂)/n) = √(0,06·0,94/400) = √(0,0564/400) = √0,000141 ≈ 0,01187. Para el 95 %, z = 1,96, luego el margen es 1,96·0,01187 ≈ 0,0233. IC₉₅ % = (0,06 − 0,0233; 0,06 + 0,0233) = (0,0367; 0,0833).
Condiciones de aplicación. n·p̂ = 24 ≥ 5 y n(1 − p̂) = 376 ≥ 5, y la muestra (400) es pequeña frente a la producción semanal, por lo que la aproximación normal es razonable.
Decisión. El valor histórico 0,05 pertenece al intervalo (0,0367; 0,0833), de modo que el 6 % observado es perfectamente compatible con la tasa del 5 % por puro azar del muestreo: al 95 % de confianza no hay evidencia de degradación y no procede parar la línea. Además, el intervalo es amplio (±2,3 puntos porcentuales): un empeoramiento real de un punto quedaría oculto. Si la dirección quiere detectar desviaciones de ese orden, necesitará muestras de tamaño varias veces superior; parar la producción con estos datos sería una decisión cara tomada sobre ruido estadístico.