Matemáticas II: bloques, técnicas y control de errores en la PAU de Castilla-La Mancha
Matemáticas II es la materia de modalidad de Ciencias en la PAU de Castilla-La Mancha. La prueba evalúa los cuatro bloques del currículo: álgebra lineal, análisis, geometría analítica y probabilidad y estadística. No basta con calcular: se pide justificar la discusión de sistemas, interpretar derivadas, elegir el modelo geométrico y plantear correctamente el experimento aleatorio.
Contenidos que se repiten
- Álgebra: matrices, determinantes, rango, sistemas con parámetro mediante Rouché-Frobenius y Cramer, ecuaciones matriciales.
- Análisis: dominio, límites, continuidad, asíntotas, derivadas, monotonía, extremos, optimización, integrales definidas y cálculo de áreas.
- Geometría: vectores, rectas y planos, posiciones relativas, ángulos, distancias y proyecciones.
- Probabilidad: sucesos, probabilidad condicionada, independencia, teorema de la probabilidad total y Bayes; variables binomial y normal.
Ejemplo resuelto
Sea el sistema:
x + ay = 1 ax + y = 1
La matriz de coeficientes es A = [[1,a],[a,1]], con det A = 1 - a².
- Si a ≠ ±1, det A ≠ 0: el sistema es compatible determinado. Por Cramer, x = (1-a)/(1-a²) = 1/(1+a) e y = 1/(1+a).
- Si a = 1, ambas ecuaciones son x+y=1: compatible indeterminado, con soluciones (1-t, t).
- Si a = -1, quedan x-y=1 y -x+y=1, es decir, x-y=1 y x-y=-1: incompatible.
El parámetro no se sustituye a ojo: se separan los valores que anulan el determinante y se estudia cada caso con el rango.
Errores que restan puntos
- Olvidar los casos a=1 y a=-1 después de calcular el determinante.
- Confundir compatible indeterminado con incompatible al comparar rangos.
- No comprobar las soluciones en el sistema original.
- En análisis, integrar sin ajustar la constante o ignorar el dominio; en geometría, omitir el valor absoluto en distancias; en probabilidad, confundir P(A∩B) con P(A|B).
La notación matemática debe aparecer en la respuesta: un resultado sin justificación puede no recibir puntuación.