Klaim Agregat Mikroasuransi: Poisson Majemuk, MGF, dan Overdispersi
Perusahaan asuransi mikro mencatat jumlah klaim harian N. Aktuaris muda mengasumsikan N ~ Poisson(3,2) karena rata-rata historis 3,2 klaim per hari. Namun data 120 hari menunjukkan varians jumlah klaim 8,9. Besar klaim individual X dalam juta rupiah independen dari N dan dari klaim lain, dengan distribusi 2 (60%), 8 (30%), dan 25 (10%). Manajemen meminta cadangan agregat S = X1 + ... + XN, termasuk ukuran variabilitas dan fungsi pembangkit momen. Kepala underwriting menolak analisis jika asumsi Poisson tidak diperiksa; ia juga ingin tahu apakah rata-rata dan varians agregat masih dapat dipakai sebagai titik awal jika overdispersi nyata. Tidak ada klaim berarti N = 0 dan S = 0. Semua angka besar klaim dalam juta rupiah. Model ini hanya untuk satu hari operasional.
1. Hitung E[S], Var[S], dan simpangan baku S dengan asumsi Poisson. Tafsirkan hasilnya bagi manajemen.
Read the worked answer
Hitung momen klaim individual: E[X]=0,6(2)+0,3(8)+0,1(25)=6,1 juta. E[X^2]=0,6(4)+0,3(64)+0,1(625)=84,1, sehingga Var(X)=84,1-6,1^2=46,89. Untuk Poisson majemuk, E[S]=lambda E[X]=3,2×6,1=19,52 juta. Var(S)=lambda E[X^2]=3,2×84,1=269,12, sehingga SD=16,40 juta. Artinya cadangan rata-rata sekitar 19,5 juta per hari, tetapi variasi harian sangat besar: simpangan baku melebihi 80% rata-rata. Manajemen tidak cukup hanya melihat cadangan titik; perlu buffer likuiditas untuk hari dengan klaim besar atau banyak.
2. Turunkan fungsi pembangkit momen S dan gunakan untuk memverifikasi E[S]. Mengapa bentuk ini berguna?
Read the worked answer
MGF klaim individual adalah M_X(t)=0,6e^(2t)+0,3e^(8t)+0,1e^(25t). Dengan N Poisson(lambda) dan X independen, M_S(t)=E[E[e^(tS)|N]]=exp(lambda(M_X(t)-1))=exp(3,2(0,6e^(2t)+0,3e^(8t)+0,1e^(25t)-1)). Turunkan di t=0: M_S'(0)=lambda M_X'(0)=3,2×6,1=19,52, sesuai E[S]. Bentuk MGF berguna karena seluruh momen agregat dapat diperoleh lewat turunan, tanpa harus menurunkan sebaran S secara eksplisit. Ini juga memperlihatkan bahwa model hanya bergantung pada MGF severitas dan parameter frekuensi.
3. Apakah asumsi Poisson dapat dipertahankan? Jika N tetap bermean 3,2 tetapi bervarians 8,9, hitung ulang Var[S] dan jelaskan dampaknya pada keputusan cadangan.
Read the worked answer
Asumsi Poisson lemah karena Poisson mensyaratkan varians sama dengan mean, yaitu 3,2, sedangkan varians empiris 8,9. Ini indikasi overdispersi, mungkin karena heterogenitas hari, musim, atau klaim yang mengelompok. Dengan Var(N)=8,9, gunakan Var(S)=E[N]Var(X)+Var(N)(E[X])^2=3,2×46,89+8,9×37,21=150,05+331,17=481,22. SD menjadi sekitar 21,94 juta, jauh di atas 16,40 juta. Cadangan berbasis Poisson terlalu optimistis terhadap risiko ekor. Sebaiknya gunakan sebaran frekuensi yang mengakomodasi overdispersi, misalnya negative binomial, lalu uji kecocokan sebelum menetapkan cadangan.