PAI CF2 - Probabilitas dan Statistika cheat sheet

Aksioma Kolmogorov: P(Ω)=1, P(A)≥0, dan P(∪Aᵢ)=ΣP(Aᵢ) untuk kejadian saling lepas; semua aturan lain diturunkan dari ketiganya.

Aturan komplemen P(Aᶜ)=1−P(A) dan aturan penjumlahan P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B); kurangi irisan agar tidak menghitung ganda.

Peluang bersyarat P(A|B)=P(A∩B)/P(B) dengan P(B)>0; definisi ini mendasari aturan perkalian P(A∩B)=P(A|B)P(B).

A dan B bebas jika dan hanya jika P(A∩B)=P(A)P(B); kejadian saling lepas (P(A∩B)=0) dengan P(A),P(B)>0 justru tidak bebas.

Teorema Bayes: P(A|B)=P(B|A)P(A)/ΣᵢP(B|Aᵢ)P(Aᵢ) untuk partisi {Aᵢ}; dipakai membalik peluang bersyarat.

Aturan peluang total: P(B)=ΣᵢP(B|Aᵢ)P(Aᵢ) bila {Aᵢ} partisi dari ruang sampel.

Pencacahan: permutasi P(n,r)=n!/(n−r)!, kombinasi C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]; pakai kombinasi bila urutan tidak penting.

Banyaknya susunan n objek dengan nᵢ objek identik per jenis adalah n!/(n₁!n₂!…nₖ!).

Fungsi sebaran kumulatif F(x)=P(X≤x) bersifat tak turun, kontinu kanan, dengan limit 0 di −∞ dan 1 di +∞.

Untuk X diskret, f(x)=P(X=x) dan F(x)=Σ_{t≤x}f(t); untuk X kontinu, F(x)=∫_{−∞}^{x}f(t)dt dan f(x)=F′(x) di titik diferensiabel.

Syarat sah fungsi massa peluang: f(x)≥0 dan Σf(x)=1; syarat fungsi kepadatan: f(x)≥0 dan ∫f(x)dx=1, dengan f(x) boleh >1.

P(a<X≤b)=F(b)−F(a); untuk X kontinu P(X=a)=0 sehingga batas ketat dan longgar memberi hasil sama.

Transformasi monoton Y=g(X): f_Y(y)=f_X(g⁻¹(y))·|d/dy g⁻¹(y)|; untuk g tak monoton jumlahkan kontribusi tiap cabang.

Jika X kontinu dengan kepadatan f, maka Y=F(X) berdistribusi Uniform(0,1) (transformasi integral peluang).

Peubah acak diskret dapat diperoleh dari kontinu melalui pembulatan atau pengelompokan; hati-hati pada titik batas kelas.

Bernoulli(p): P(X=1)=p, E(X)=p, Var(X)=p(1−p); Binomial(n,p) adalah jumlah n percobaan Bernoulli bebas, E=np, Var=np(1−p).

Poisson(λ): P(X=k)=e^{−λ}λᵏ/k!, E=Var=λ; muncul sebagai limit Binomial(n,p) dengan np→λ dan n besar.

Geometrik(p): P(X=k)=(1−p)^{k−1}p untuk k=1,2,…; E=1/p, Var=(1−p)/p².

Hipergeometrik: pengambilan tanpa pengembalian dari populasi berhingga; Var lebih kecil daripada Binomial karena faktor koreksi (N−n)/(N−1).

Uniform(a,b): f=1/(b−a) pada [a,b], E=(a+b)/2, Var=(b−a)²/12.

Eksponensial(λ): f=λe^{−λx}, E=1/λ, Var=1/λ², dan bersifat memoryless P(X>s+t|X>s)=P(X>t).

Normal(μ,σ²): standarisasi Z=(X−μ)/σ; aturan 68-95-99,7 untuk rentang μ±1σ, ±2σ, ±3σ.

Hubungan aproksimasi: Binomial(n,p) mendekati Normal(μ=np, σ²=np(1−p)) bila np≥5 dan n(1−p)≥5; gunakan koreksi kontinuitas ±0,5.

E(X)=Σx·f(x) atau ∫x·f(x)dx; E(g(X))=Σg(x)f(x) atau ∫g(x)f(x)dx (hukum statistikian tak sadar).

Linearitas: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c berlaku tanpa syarat kebebasan.

Var(X)=E(X²)−[E(X)]²; Var(aX+b)=a²Var(X), dan Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y) hanya jika X,Y saling bebas.

Untuk X,Y bebas: E(XY)=E(X)E(Y) dan Cov(X,Y)=0; sebaliknya Cov=0 tidak menjamin kebebasan.

Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y); korelasi ρ=Cov(X,Y)/(σ_Xσ_Y) memenuhi −1≤ρ≤1.

Fungsi pembangkit momen M_X(t)=E(e^{tX}); momen ke-r diperoleh dari M_X^{(r)}(0), dan M_X menentukan sebaran secara tunggal.

Jika Y=aX+b maka M_Y(t)=e^{bt}M_X(at); jika X,Y bebas maka M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t).

Fungsi karakteristik φ_X(t)=E(e^{itX}) selalu ada, sehingga dipakai saat M_X(t) tidak terdefinisi di sekitar 0.

Rata-rata x̄=Σxᵢ/n sensitif terhadap pencilan; median dan modus lebih robust terhadap nilai ekstrem.

Kuartil Q1, Q2, Q3 memotong data terurut; IQR=Q3−Q1, dan pencilan ditandai bila x<Q1−1,5·IQR atau x>Q3+1,5·IQR.

Varians sampel s²=Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1) memakai pembagi n−1 agar tak bias terhadap σ².

Kemiringan (skewness): mean>median mengindikasikan ekor kanan; mean<median mengindikasikan ekor kiri.

Koefisien variasi CV=s/x̄ mengukur keragaman relatif dan berguna membandingkan satuan berbeda.

Histogram dengan lebar kelas tidak sama harus memakai tinggi = frekuensi/lebar kelas agar luas sebanding frekuensi.

Boxplot menampilkan median, Q1, Q3, dan pagar; ekor panjang pada satu sisi tampak dari jarak median ke kuartil.

Teorema Limit Pusat: untuk sampel acak berukuran n dari populasi dengan mean μ dan varians σ², (X̄−μ)/(σ/√n) mendekati Normal(0,1) saat n→∞.

Galat baku rata-rata adalah σ_X̄=σ/√n; empat kali ukuran sampel hanya memotong galat baku menjadi separuh.

Bila populasi Normal, X̄ tepat Normal(μ, σ²/n) untuk semua n, bukan hanya asimtotik.

Sebaran sampel proporsi: E(p̂)=p dan galat baku √[p(1−p)/n], dengan p̂ mendekati Normal bila np≥5 dan n(1−p)≥5.

Bila σ tidak diketahui dan populasi Normal, (X̄−μ)/(s/√n) berdistribusi t dengan derajat kebebasan n−1.

Untuk dua sampel bebas: E(X̄₁−X̄₂)=μ₁−μ₂ dan Var(X̄₁−X̄₂)=σ₁²/n₁+σ₂²/n₂.

Koreksi populasi berhingga: kalikan galat baku dengan √[(N−n)/(N−1)] saat sampling tanpa pengembalian dari populasi berukuran N.

Sebaran samping (X₁,…,Xₙ) adalah sebaran bersama statistik; statistik adalah fungsi sampel yang tidak bergantung parameter tak diketahui.

Estimator tak bias: E(θ̂)=θ; X̄ tak bias untuk μ dan s² tak bias untuk σ², sedangkan s adalah estimator berbias untuk σ.

MSE(θ̂)=Var(θ̂)+[Bias(θ̂)]²; estimator dengan varians kecil tetapi bias besar dapat kalah efisien.

Selang kepercayaan 1−α untuk μ dengan σ diketahui: x̄±z_{α/2}·σ/√n.

Dengan σ tidak diketahui dan populasi Normal: x̄±t_{α/2,n−1}·s/√n; t berekor lebih tebal daripada z.

Lebar selang mengecil bila n bertambah atau bila tingkat keyakinan diturunkan; lebar sebanding 1/√n.

Selang kepercayaan proporsi: p̂±z_{α/2}√[p̂(1−p̂)/n], sahih bila np̂≥5 dan n(1−p̂)≥5.

Ukuran sampel untuk galat margin E: n=(z_{α/2}σ/E)², dibulatkan ke atas; untuk proporsi pakai p=0,5 bila tidak ada perkiraan awal.

Tafsiran yang benar: prosedur menghasilkan selang yang memuat μ pada (1−α)·100% pengambilan sampel berulang, bukan peluang μ berada di dalam selang tertentu.

H₀ adalah klaim yang diuji; arah H₁ (≠, >, <) menentukan uji dua sisi atau satu sisi dan letak daerah penolakan.

Galat Tipe I: menolak H₀ padahal benar, peluangnya α; Galat Tipe II: gagal menolak H₀ padahal salah, peluangnya β.

Kekuatan uji = 1−β; meningkat bila α diperbesar, n diperbesar, atau selisih efek yang dideteksi membesar.

p-value adalah peluang memperoleh statistik uji seekstrem atau lebih ekstrem dari data, dihitung dengan asumsi H₀ benar; tolak H₀ bila p-value<α.

Statistik uji z=(x̄−μ₀)/(σ/√n) dipakai bila σ diketahui; t=(x̄−μ₀)/(s/√n) dengan df=n−1 bila σ tidak diketahui.

Uji proporsi: z=(p̂−p₀)/√[p₀(1−p₀)/n] memakai nilai p₀ di bawah H₀, bukan p̂, pada galat baku.

Nilai kritis z_{α/2}≈1,96 untuk α=0,05 dan ≈2,576 untuk α=0,01 pada uji dua sisi.

Menolak H₀ bukan bukti H₀ salah secara mutlak; gagal menolak H₀ bukan bukti H₀ benar, hanya data tidak cukup mendukung H₁.

Koefisien korelasi Pearson r=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/√[Σ(xᵢ−x̄)²Σ(yᵢ−ȳ)²], dengan −1≤r≤1 dan r² menyatakan proporsi varians Y yang dijelaskan.

Garis regresi kuadrat terkecil ŷ=b₀+b₁x dengan b₁=r·s_y/s_x dan b₀=ȳ−b₁x̄; garis selalu melewati titik (x̄, ȳ).

b₁ menyatakan perubahan rata-rata Y untuk kenaikan satu satuan X; b₀ adalah prediksi Y saat X=0 dan tidak selalu bermakna fisis.

r mengukur kekuatan hubungan linear dan tidak menangkap hubungan lengkung; r=0 tidak berarti X dan Y bebas.

Korelasi tidak menyiratkan kausalitas; variabel ketiga (lurking variable) dapat menciptakan korelasi semu.

Uji signifikansi slope memakai t=b₁/SE(b₁) dengan df=n−2; H₀: β₁=0 setara dengan H₀: ρ=0 pada regresi linear sederhana.

Residual eᵢ=yᵢ−ŷᵢ; plot residual versus ŷ atau x dipakai memeriksa linearitas, varians konstan, dan pencilan.

Pencilan berdaya ungkit tinggi (leverage) dapat menggeser garis regresi secara besar; periksa jarak Cook atau leverage hᵢ.