Peubah Acak dan Sebaran Peluang
Dari kejadian ke peubah acak
Peubah acak X adalah fungsi dari Ω ke bilangan real; sebarannya memberi peluang setiap nilai. Untuk X diskret, PMF p(x) = P(X = x) dengan Σp(x) = 1. Untuk X kontinu, PDF f(x) ≥ 0 dengan ∫f(x)dx = 1 dan P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx.
CDF sebagai alat pemersatu
F(x) = P(X ≤ x) berlaku untuk kedua jenis: monoton tak turun, menuju 0 di kiri dan 1 di kanan, serta right-continuous. Untuk kasus kontinu, f(x) = F′(x) dan P(X = x) = 0, sehingga P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b). Gunakan F untuk menghitung peluang ekor: P(X > x) = 1 − F(x).
Transformasi peubah acak
Jika Y = g(X) dan g monoton naik, F_Y(y) = F_X(g⁻¹(y)), lalu turunkan terhadap y. Untuk g monoton turun, arah pertidaksamaan berbalik. Pendekatan CDF ini lebih aman daripada menghafal rumus Jacobian yang mudah salah tanda.
Contoh kerja
Misalkan X ~ Uniform(0,1) dan Y = X². Untuk 0 < y < 1: F_Y(y) = P(X² ≤ y) = P(X ≤ √y) = √y. Turunannya memberi f_Y(y) = 1/(2√y) pada (0,1) dan nol di luar. Pemeriksaan: ∫₀¹ ½y^(−1/2)dy = [y^(1/2)]₀¹ = 1, jadi PDF tersebut sah.
Jebakan
Menyamakan nilai PDF dengan probabilitas: f(x) boleh lebih besar dari 1, yang wajib ≤ 1 adalah integralnya. Lupa menuliskan batas domain hasil transformasi. Pada PMF dengan konstanta normalisasi c, hitung c lebih dulu sebelum menjawab peluang. Pada CDF piecewise, periksa definisi di luar support sebelum menyimpulkan.