Nilai Harapan, Momen, dan Fungsi Pembangkit
Definisi dan sifat
E[X] = Σ x p(x) atau ∫ x f(x)dx. Untuk fungsi g: E[g(X)] = Σ g(x)p(x). Ekspektasi bersifat linear: E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] tanpa syarat independensi. Varians Var(X) = E[X²] − (E[X])² dan Var(aX+b) = a²Var(X). Jika X dan Y independen, Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y); jika tidak, tambahkan 2Cov(X,Y).
Momen dan MGF
Momen ke-k di sekitar origin adalah μ′k = E[Xᵏ], sedangkan momen pusat μ_k = E[(X−μ)ᵏ]. Fungsi pembangkit momen M_X(t) = E[e^(tX)] ada di sekitar t = 0. Sifat kunci: M_X^(k)(0) = E[Xᵏ], dan MGF menentukan sebaran secara unik. Untuk X dan Y independen, M{X+Y}(t) = M_X(t)·M_Y(t); inilah cara cepat membuktikan jumlah peubah normal tetap normal dan jumlah Poisson tetap Poisson. Fungsi karakteristik φ(t) = E[e^(itX)] selalu ada meski MGF tidak.
Contoh kerja
Diketahui M_X(t) = exp(2t + 4,5t²), bentuk MGF normal dengan μ = 2 dan σ² = 9. Verifikasi lewat turunan: M′(t) = (2 + 9t)M(t), sehingga M′(0) = 2 = E[X]. Lalu M″(t) = 9M(t) + (2+9t)²M(t), maka M″(0) = 9 + 4 = 13 = E[X²]. Diperoleh Var(X) = 13 − 2² = 9, cocok dengan σ².
Jebakan
Menganggap E[g(X)] = g(E[X]); kesamaan ini hanya berlaku untuk g linear, sehingga E[X²] ≠ (E[X])². Lupa bahwa MGF bisa tidak ada untuk sebaran berekor sangat berat. Menyamakan MGF dengan CDF. Pada kovarians, ingat Var(X−Y) = Var(X) + Var(Y) − 2Cov(X,Y), bukan selisih varians.