Menghargai dan Melindungi GMDB pada Produk Variabel: Black-Scholes, Vega, dan Biaya Lindung Nilai
PT Asuransi Jiwa Cendana akan meluncurkan produk variabel dengan manfaat kematian minimum (GMDB) berupa jaminan pengembalian premi 100 juta per peserta selama lima tahun, apa pun kinerja dana ekuitas yang dipilih peserta. Dana memberikan dividend yield 2%, suku bunga bebas risiko 6%, dan aktuaria memakai volatilitas 20% yang diambil dari data return harian satu tahun terakhir. Peserta membayar biaya pengelolaan 3% per tahun dari nilai akun, dan manajemen menyatakan produk tetap untung karena 'biaya tiga persen jauh lebih besar daripada risiko peserta gagal bayar'. Tidak ada opsi jual lima tahun yang likuid di pasar; kuotasi yang tersedia hanya untuk tenor satu tahun dengan implied volatility 26%, sedangkan model internal memakai 20% datar. Peluncuran dijadwalkan bulan depan karena pesaing sudah menjual produk serupa. Volume awal diperkirakan 10.000 peserta.
1. Hitung nilai jaminan GMDB sebagai opsi jual Eropa dan bandingkan dengan nilai kini pendapatan biaya 3% per tahun untuk satu peserta.
Read the worked answer
Jaminan GMDB setara put Eropa: S = 100, K = 100, r = 6%, q = 2%, sigma = 20%, T = 5.
- d1 = [0 + (0,06 - 0,02 + 0,5 x 0,04) x 5]/(0,20 x akar 5) = (0,06 x 5)/0,4472 = 0,6708
- d2 = 0,6708 - 0,4472 = 0,2236
- N(-d2) = 0,4115; N(-d1) = 0,2512
Put = K e^(-rT) N(-d2) - S e^(-qT) N(-d1) = 100(0,7408)(0,4115) - 100(0,9048)(0,2512) = 30,49 - 22,73 = 7,76 juta per peserta (7,76% dari akun).
Pendapatan biaya. Biaya 3% dari akun, nilai kini dengan anuitas 5 tahun pada 6%: 3 x 4,212 = 12,64 juta (perkiraan konservatif karena akun diasumsikan tidak tumbuh; bila akun tumbuh, nilai nominal biaya naik tetapi nilai kininya kurang lebih setara).
Margin kotor = 12,64 - 7,76 = 4,88 juta per peserta, atau sekitar 48,8 miliar untuk 10.000 peserta. Kesimpulannya produk memang masih bernilai, tetapi klaim manajemen bahwa biaya 3% 'jauh lebih besar' hanya benar bila lindung nilai dapat dilakukan tanpa biaya tambahan; margin kotor itu harus menutup biaya modal, biaya akuisisi, dan biaya lindung nilai. Perlu dicatat bahwa put di atas dihargai tanpa memperhitungkan biaya manajemen yang menurunkan nilai akun dan karenanya menaikkan nilai jaminan; memasukkan biaya 3% akan menaikkan nilai put lebih lanjut.
2. Uji sensitivitas terhadap volatilitas (sigma 30%) dan jelaskan mengapa pemakaian satu volatilitas datar 20% berisiko, dengan kaitannya pada permukaan implied volatility dan lindung nilai.
Read the worked answer
Dengan sigma 30%:
- d1 = [(0,04 + 0,045) x 5]/(0,30 x 2,2361) = 0,425/0,6708 = 0,6336
- d2 = 0,6336 - 0,6708 = -0,0373
- N(-d2) = N(0,0373) = 0,5149; N(-d1) = N(-0,6336) = 0,2632
- Put = 74,08(0,5149) - 90,48(0,2632) = 38,14 - 23,81 = 14,33 juta
Kenaikan volatilitas 10 poin menaikkan kewajiban dari 7,76 menjadi 14,33 juta, yaitu +85%; vega sekitar 0,65 juta per 1 poin volatilitas. Ini menghapus hampir seluruh margin kotor 4,88 juta per peserta.
Mengapa satu volatilitas datar berbahaya. Volatilitas bukan konstanta: ia bergantung pada strike dan tenor (volatility smile/skew). Pasar mengutip 26% untuk tenor satu tahun, sementara model memakai 20% datar untuk tenor lima tahun; 20% berasal dari data historis pendek yang mencakup periode tenang dan tidak mencerminkan ketidakpastian jangka panjang. Untuk opsi panjang, kesalahan vol 10 poin mengubah harga lebih dari 80%, jadi memilih 20% tanpa kalibrasi adalah asumsi yang menentukan hasil. Praktik yang benar: kalibrasi ke permukaan implied volatility yang tersedia (termasuk ekstrapolasi tenor dengan hati-hati), uji model stokastik volatilitas atau lompatan, dan laporkan rentang nilai (7,8-14,3 juta) kepada komite produk. Jika kuotasi 26% dianggap lebih relevan, cadangan harus dibentuk mendekati skenario 30% dan peluncuran tidak boleh mengandalkan margin hasil skenario paling ringan.
3. Rancang lindung nilai delta untuk jaminan tersebut dan sebutkan biaya serta risiko sisa yang harus dianggarkan.
Read the worked answer
Delta lindung nilai. Delta put = -e^(-qT) N(-d1) = -0,9048(0,2512) = -0,227. Perusahaan berada di posisi short put, sehingga kewajibannya naik saat dana turun. Agar delta-netral, perusahaan harus memegang +0,227 x akun = 22,7 juta pada aset dasar per peserta 100 juta (sekitar 227 miliar untuk 10.000 peserta), dibiayai pinjaman pada 6%.
Mengapa ini bukan lindung nilai gratis.
- Gamma negatif bagi penjamin: delta harus dinaikkan saat harga turun dan diturunkan saat harga naik, artinya membeli mahal dan menjual murah. Biaya rebalancing membesar ketika volatilitas tinggi, tepat saat kerugian juga besar.
- Volatilitas realisasi versus implisit: lindung nilai diskret hanya efektif bila volatilitas realisasi setara dengan yang dipakai untuk menghargai; bila realisasi 30% sementara kewajiban dihitung dengan 20%, kerugian lindung nilai muncul.
- Gap dan lompatan: penurunan tajam dalam satu hari tidak dapat diantisipasi rebalancing harian.
- Basis risk: dana peserta adalah reksa dana; lindung nilai harus memakai futures indeks, sehingga ada selisih return.
Anggaran. Sisihkan biaya transaksi dan slippage (misalnya 5-15 bp per bulan atas nilai yang dilindung nilai), biaya pembiayaan posisi long (r - q = 4% atas 22,7 juta), serta cadangan untuk hedging error dengan simulasi historis. Uji skenario: dana -30% dalam sebulan sementara delta tidak sempat disesuaikan. Karena itu, keputusan peluncuran harus mensyaratkan margin setelah seluruh biaya lindung nilai, bukan margin kotor sebelum lindung nilai.