連続する2つの奇数の積に1を加えると平方数になるのはなぜか
2年生の数学の授業で、悠斗（ゆうと）さんは次の計算をノートに書き並べた。 3×5+1=16、5×7+1=36、7×9+1=64、9×11+1=100 どれも連続する2つの奇数の積に1を加えた計算で、答えは4²、6²、8²、10²となっている。悠斗さんは「奇数に限らないのではないか」と考え、1×2+1=3、2×3+1=7、4×5+1=21も計算し、平方数にならない場合があることに気づいた。しかし、なぜ奇数どうしのときだけ必ず平方数になるのかは説明できていない。隣の美咲さんは「奇数は2n+1と表せるのだから、文字式で整理すれば理由が見えるはず」と助言した。先生は「いつでも成り立つと言うには文字式による証明が必要で、成り立たないと言うには反例が1つあれば十分」とまとめ、クラス全体に「計算で確かめた4つの例」と「一般の場合」の違いを意識するよう求めた。二人は放課後に、この性質を使って2023と2025の積を計算せずに平方根を求める方法を考えることにした。なお、nは0以上の整数とする。
1. 連続する2つの奇数（正の整数）の積に1を加えた数は、必ず平方数になることを、文字式を用いて説明しなさい。
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連続する2つの奇数は、整数nを使って 2n+1、2n+3 と表せる。 (2n+1)(2n+3)+1 = 4n²+6n+2n+3+1 = 4n²+8n+4 = 4(n²+2n+1) = 4(n+1)² = {2(n+1)}² 2(n+1)は整数だから、これは整数の2乗、つまり平方数である。 別の見方もできる。2つの奇数の間にある偶数をmとすると、2つの奇数は m−1、m+1 と書ける。(m−1)(m+1)+1 = m²−1+1 = m² となり、平方数であることが一目でわかる。こちらの方が「なぜ中央の偶数の2乗になるのか」を説明しやすい。n=0のとき 1×3+1=4=2² となり、最初の例とも一致する。
2. √(2023×2025+1) の値を、電卓を使わずに求めなさい。また、そのように計算できる理由も書きなさい。
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2023と2025は連続する2つの奇数で、その間の偶数は2024である。上の性質から、中央の偶数をmとすれば (m−1)(m+1)+1 = m² が成り立つ。 m=2024として (2024−1)(2024+1)+1 = 2024²−1+1 = 2024² したがって √(2023×2025+1) = √(2024²) = 2024 である。 2024は正の数なので、絶対値の記号をつけずにそのまま答えてよい。2023×2025を実際にかける必要はなく、「連続する2つの奇数の間の偶数」を見つけることが要点である。
3. 悠斗さんの予想「連続する2つの整数の積に1を加えるといつも平方数になる」が正しいか誤りかを判断し、その根拠を書きなさい。あわせて、連続する2つの偶数の場合はどうなるかを文字式で確かめなさい。
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悠斗さんの予想は誤りである。反例として 2×3+1=7 があり、7は平方数ではない（1×2+1=3、4×5+1=21も同様）。一般に n(n+1)+1 = n²+n+1 で、n=1なら3、n=2なら7となり平方数にならない。反例が1つでもあれば「いつでも成り立つ」とは言えない。 一方、連続する2つの偶数 2n、2n+2 については、 2n(2n+2)+1 = 4n²+4n+1 = (2n+1)² となり、必ず平方数になる（例：2×4+1=9=3²、4×6+1=25=5²）。 つまり「必ず平方数になる」のは差が2の2数（奇数どうし、偶数どうし）の場合であり、差が1の連続する整数の組では成り立たない。予想を確かめるときは、成り立つ場合だけでなく、成り立たない場合を探すことが大切である。