Tochigi Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies

連続する2つの奇数の積に1を加えると平方数になるのはなぜか

2年生の数学の授業で、悠斗（ゆうと）さんは次の計算をノートに書き並べた。 3×5+1=16、5×7+1=36、7×9+1=64、9×11+1=100 どれも連続する2つの奇数の積に1を加えた計算で、答えは4²、6²、8²、10²となっている。悠斗さんは「奇数に限らないのではないか」と考え、1×2+1=3、2×3+1=7、4×5+1=21も計算し、平方数にならない場合があることに気づいた。しかし、なぜ奇数どうしのときだけ必ず平方数になるのかは説明できていない。隣の美咲さんは「奇数は2n+1と表せるのだから、文字式で整理すれば理由が見えるはず」と助言した。先生は「いつでも成り立つと言うには文字式による証明が必要で、成り立たないと言うには反例が1つあれば十分」とまとめ、クラス全体に「計算で確かめた4つの例」と「一般の場合」の違いを意識するよう求めた。二人は放課後に、この性質を使って2023と2025の積を計算せずに平方根を求める方法を考えることにした。なお、nは0以上の整数とする。. 連続する2つの奇数は、整数nを使って 2n+1、2n+3 と表せる。 (2n+1)(2n+3)+1 = 4n²+6n+2n+3+1 = 4n²+8n+4 = 4(n²+2n+1) = 4(n+1)² = {2(n+1)}² 2(n+1)は整数だから、これは整数の2乗、つまり平方数である。 別の見方もできる。2つの奇数の間にある偶数をmとすると、2つの奇数は m−1、m+1 と書ける。(m−1)(m+1)+1 = m²−1+1 = m² となり、平方数であることが一目でわかる。こちらの方が「なぜ中央の偶数の2乗になるのか」を説明しやすい。n=0のとき 1×3+1=4=2² となり、最初の例とも一致する。. 2023と2025は連続する2つの奇数で、その間の偶数は2024である。上の性質から、中央の偶数をmとすれば (m−1)(m+1)+1 = m² が成り立つ。 m=2024として (2024−1)(2024+1)+1 = 2024²−1+1 = 2024² したがって √(2023×2025+1) = √(2024²) = 2024 である。 2024は正の数なので、絶対値の記号をつけずにそのまま答えてよい。2023×2025を実際にかける必要はなく、「連続する2つの奇数の間の偶数」を見つけることが要点である。. 悠斗さんの予想は誤りである。反例として 2×3+1=7 があり、7は平方数ではない（1×2+1=3、4×5+1=21も同様）。一般に n(n+1)+1 = n²+n+1 で、n=1なら3、n=2なら7となり平方数にならない。反例が1つでもあれば「いつでも成り立つ」とは言えない。 一方、連続する2つの偶数 2n、2n+2 については、 2n(2n+2)+1 = 4n²+4n+1 = (2n+1)² となり、必ず平方数になる（例：2×4+1=9=3²、4×6+1=25=5²）。 つまり「必ず平方数になる」のは差が2の2数（奇数どうし、偶数どうし）の場合であり、差が1の連続する整数の組では成り立たない。予想を確かめるときは、成り立つ場合だけでなく、成り立たない場合を探すことが大切である。.

2つのスマートフォン料金プランの逆転点を式で確かめる

高校進学を控えた結衣さんの家では、家族でスマートフォンの料金プランを見直している。候補は次の2つである。 Aプラン：基本料金が月1500円、通話料は1分ごとに20円（1分未満は切り上げ）。 Bプラン：基本料金が月500円、通話料は1分ごとに30円（1分未満は切り上げ）。 先月の通話時間は、結衣さんが65分、母親が120分、父親が40分であった。父親は「長く話す人ほどAプランが得だ」と言い、結衣さんは「何分を境に逆転するのか、式で確かめたい」と考えている。兄は「グラフの交点より右側がAプランだ」と覚えようとしているが、交点ちょうどのときにどちらが安いかは考えていない。家族で使える通話時間は1か月あたり600分以内であり、通話時間は1分単位で数えるものとする。通話時間をx分、その月の料金をy円とし、通話をしなかった月でも基本料金はかかるものとする。結衣さんは「100分を超えるとAプランが安くなる」と予想しているが、その予想が正しいかどうかはまだ確かめていない。. Aプラン、Bプランの料金yを、通話時間xの式で表しなさい。また、2つのプランの料金が等しくなる通話時間と、そのときの金額を求めなさい。. 通話時間がちょうど100分のときと99分のときの料金を比べ、「100分以上ならAプランが得」という言い方が正しいかどうかを、根拠を挙げて説明しなさい。. 基本料金と通話料の合計を式にする。 Aプラン：y = 20x + 1500 Bプラン：y = 30x + 500 料金が等しくなるのは 20x+1500 = 30x+500 のとき。 1500−500 = 30x−20x より 1000 = 10x、よって x = 100 このとき y = 20×100+1500 = 3500（Bプランでも 30×100+500 = 3500 で一致する）。 したがって100分のとき両プランの料金は等しく、3500円である。100分未満ではBプラン、100分より長いとAプランが安い。傾き（1分あたりの通話料）がAは20円、Bは30円なので、Aの直線の方がゆるやかで、交点より右ではAが下にくる。. それぞれの式に代入して比べる。 結衣さん65分：A = 20×65+1500 = 1300+1500 = 2800円、B = 30×65+500 = 1950+500 = 2450円。Bプランが350円安い。 母親120分：A = 20×120+1500 = 2400+1500 = 3900円、B = 30×120+500 = 3600+500 = 4100円。Aプランが200円安い。 父親40分：A = 20×40+1500 = 800+1500 = 2300円、B = 30×40+500 = 1200+500 = 1700円。Bプランが600円安い。 以上から、通話時間が100分より短い2人（結衣さん・父親）はBプラン、100分より長い母親はAプランが安い。父親の「長く話す人ほどAプランが得」という言葉は、100分を境にした言い方に直す必要がある。. 100分ちょうど：A = 20×100+1500 = 3500円、B = 30×100+500 = 3500円で差はない。 99分：A = 20×99+1500 = 1980+1500 = 3480円、B = 30×99+500 = 2970+500 = 3470円で、Bプランが10円安い。 したがって「100分以上ならAプランが得」は正しくない。100分では両者は同じ金額で、Aが得になるのは100分より長いとき、つまり101分以上である。xは整数で数えるという条件があるため、境目の100分を含めるかどうかで結論が変わる。 グラフで見ても、2直線はx=100で交わり、x 100の範囲でAプランの直線がBプランの直線より下にくる。交点は「金額が同じになる点」であり、どちらかが得になる境目はそこから1分ずらした位置になることに注意する。.

直角三角形の垂線がつくる3つの相似な三角形

3年生の相似の単元で、∠B=90°、AB=6cm、BC=8cmの直角三角形ABCを扱った。頂点Bから斜辺ACに垂線BHをひき、ACとの交点をHとする。先生は「この図の中に、大きさは違うが形の同じ三角形が3つ隠れている」と話した。翔太さんは、△ABHと△CBHが相似であることは見つけられたが、△ABHと△ABCが相似になる理由を、どの角とどの角が等しいのかを挙げて説明することができない。また、AHとHCの長さの比について「AB:BC=6:8=3:4だから、AH:HCも3:4になるはずだ」と予想し、ノートに書いている。授業の後半では、辺AC上に点Dをとって△ABDの面積を考える発展課題も提示されたが、まずはBH、AH、HCの長さを正確に求め、翔太さんの予想が正しいかどうかを確かめることになった。相似条件は「2組の角がそれぞれ等しい」を用い、長さは小数で表してよいものとする。. △ABHと△ABCが相似であることを、角に着目して証明しなさい。また、そのときの対応する辺を明確にしなさい。. BH、AH、HCの長さを求めなさい。計算の根拠も書きなさい。. 翔太さんの予想「AH:HC = AB:BC = 3:4」は正しいかどうか。正しい比と、そうなる理由を説明しなさい。. △ABHと△ABCにおいて ∠AHB = 90°（BHはACにひいた垂線だから） ∠ABC = 90°（仮定） よって ∠AHB = ∠ABC …① また、∠BAH と ∠BAC は同じ角を指すので ∠BAH = ∠BAC …② ①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから △ABH ∽ △ABC 対応を確認する。∠Aが共通、∠Hが∠Bに対応するので、残る∠ABHが∠Cに対応する。したがって辺は AB↔AC、AH↔AB、BH↔CB の順に対応する。 同様に、△CBHと△ABCも ∠CHB = ∠CBA = 90°、∠BCH = ∠BCA（共通）から相似である。3つの三角形はすべて相似で、直角をはさむ辺の長さの組み合わせだけが違う。. まず斜辺ACを三平方の定理で求める。 AC = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10cm △ABH ∽ △ABC で、対応する辺の比は AB:AC = 6:10 = 3:5 である。 AHはABに対応するから AH:AB = 3:5、よって AH = 6×3/5 = 3.6cm BHはCBに対応するから BH:CB = 3:5、よって BH = 8×3/5 = 4.8cm HC = AC − AH = 10 − 3.6 = 6.4cm 検算：△ABHは直角三角形だから AH²+BH² = 3.6²+4.8² = 12.96+23.04 = 36 = 6² = AB² となり、三平方の定理が成り立つ。相似比を辺の対応と取り違えると値がずれるので、対応表を書いて確かめることが大切である。.

箱ひげ図からいえること・いえないこと

2年A組とB組（どちらも20人）で、1分間の反復横跳びの記録を測定し、箱ひげ図にまとめた。読み取れた値は次のとおりである。 A組：最小22回、第1四分位数28回、中央値34回、第3四分位数40回、最大53回 B組：最小26回、第1四分位数31回、中央値35回、第3四分位数38回、最大47回 学級代表の奈々さんは「B組の中央値がA組より1回大きいので、B組の平均もA組より大きいに違いない」と発言した。また、A組の記録の一覧を見た颯太さんは「A組で40回以上の生徒はちょうど5人だ」と断言した。先生は「箱ひげ図から言えることと言えないことを区別しよう。四分位数は、データを小さい順に並べたときの位置で決まる値だ」と板書した。記録はすべて整数で、同じ記録の生徒が複数いてもよいものとする。A組のデータは20個あり、中央値は10番目と11番目の平均、第1四分位数は5番目と6番目の平均、第3四分位数は15番目と16番目の平均として求めたものである。. A組とB組の四分位範囲をそれぞれ求め、記録の散らばりについて、箱ひげ図から読み取れることを説明しなさい。. 奈々さんの「B組の平均はA組より大きいに違いない」という判断は正しいか。箱ひげ図からわかることを根拠に説明しなさい。. 颯太さんの「A組で40回以上の生徒はちょうど5人だ」という断言は正しいか。20人という人数と第3四分位数が40回であることをもとに説明しなさい。. 四分位範囲 = 第3四分位数 − 第1四分位数 A組：40 − 28 = 12回 B組：38 − 31 = 7回 B組の方が四分位範囲が小さく、中央の50%（20人なら10人）の記録が狭い範囲に集まっている。つまりB組の方が記録の散らばりが小さく、安定しているといえる。 範囲（最大−最小）で見ても A組は 53−22 = 31回、B組は 47−26 = 21回でB組が小さい。ただし範囲は極端な1つの記録で大きく変わるので、散らばりの比較には四分位範囲の方が適している。 なお、中央値はB組が1回大きいが、四分位範囲が小さいことと平均が大きいこととは別の話である。. 正しいとはいえない。 箱ひげ図に表されているのは最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値であり、平均値は表されていない。中央値が1回大きいというのは「20人のちょうど真ん中の順位の記録が1回大きい」というだけのことで、平均が大きいことを意味しない。 実際、A組は最大値が53回でB組の47回より6回も大きく、A組の上位の生徒の記録が非常に良ければ、平均はA組の方が大きくなることもあり得る。 平均を比べるには、記録の合計や平均値を直接計算して調べる必要がある。「中央値が大きい＝平均も大きい」と決めつけてはいけない。.

さいころゲームの公平性を場合の数で説明する