Tochigi Public High School Entrance Examination - Mathematics cheat sheet

展開公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a−b)^2=a^2−2ab+b^2、(a+b)(a−b)=a^2−b^2。

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab。因数分解ではこの公式を逆に使う。

因数分解の手順：共通因数をくくり出す → 公式（平方差・平方和） → たすき掛けの順に試す。

平方根：√(a^2)=|a|、√a×√b=√(ab)（a,b≥0）、√a/√b=√(a/b)（b>0）。

分母の有理化：1/√a は分母分子に√aを掛けて √a/a にする。

二次方程式 ax^2+bx+c=0 の解の公式：x={−b±√(b^2−4ac)}/(2a)。

判別式 D=b^2−4ac：D>0は異なる2解、D=0は重解、D<0は実数解なし。

不等式：両辺に負の数を掛ける・割ると不等号の向きが逆になる。

連続する整数は n, n+1, n+2、偶数は 2n、奇数は 2n+1 と表せる。

比例 y=ax（a≠0）は原点を通る直線。a>0で右上がり、a<0で右下がり。

反比例 y=a/x（a≠0）はxy=aが一定。グラフは双曲線で、x軸・y軸に交わらない。

一次関数 y=ax+b のグラフは直線。aが傾き、bがy切片。平行な直線は傾きaが等しい。

変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)。一次関数では常にaに等しい。

二次関数 y=ax^2 でxがpからqまで増えるときの変化の割合は a(p+q)。

放物線 y=ax^2 と直線 y=mx+n の交点は、ax^2=mx+n の解をx座標にもつ。

二次関数の変域：xの変域が0を含むとき、yの最大値・最小値は頂点（原点）で生じる。

グラフの平行移動：y=ax^2 をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動すると y=a(x−p)^2+q。

座標平面上の三角形の面積は、x軸やy軸で分割するか、底辺×高さ÷2で求める。

三角形の内角の和は180°、n角形の内角の和は(n−2)×180°、外角の和は360°。

合同条件：3辺相等、2辺と間の角相等、1辺と両端角相等。直角三角形は斜辺と他の1辺など。

相似条件：2角相等、2辺の比と間の角相等、3辺の比相等。

相似比がm:nのとき、面積比はm^2:n^2、体積比はm^3:n^3。

三平方の定理：直角三角形でa^2+b^2=c^2（cは斜辺）。特別角は1:2:√3、1:1:√2。

円周角の定理：同じ弧の円周角は等しい。中心角=2×円周角。直径に対する円周角は90°。

円の接線は接点を通る半径に垂直。円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。

中点連結定理：三角形の2辺の中点を結ぶ線分は第三辺に平行で、長さは第三辺の半分。

扇形：弧の長さ=2πr×a/360、面積=πr^2×a/360。球の表面積=4πr^2、体積=4/3πr^3。

平均値=合計÷個数。中央値は小さい順に並べた中央の値（偶数個は中央2つの平均）。

最頻値は最も度数が大きい値（階級値）。範囲=最大値−最小値。

四分位数：データを中央値で二分し、下側の中央値がQ1、上側の中央値がQ3。四分位範囲=Q3−Q1。

相対度数=その階級の度数÷度数合計。累積相対度数は小さい階級から順に加えた相対度数。

確率=事象の場合の数÷全場合の数（同様に確からしいとき）。確率は0以上1以下。

余事象の確率：P(A)=1−P(not A)。「少なくとも1つ」は余事象で考えると早い。

場合の数は樹形図や表で整理する。積の法則：Aの後にBが起こる場合はa×b通り。

標本調査：母集団から無作為に抽出した標本の比率をもとに母集団の数量を推定する。

証明の構成：仮定（与えられた条件）→根拠（定義・定理・合同条件など）→結論の順に書く。

命題を偽と示すには反例を1つ挙げる。反例は条件を満たすが結論を満たさない例。

文字式の証明：連続する整数はn, n+1、偶数は2n、奇数は2n+1と置いて計算する。

図形の証明：合同・相似を示すときは対応する頂点の順をそろえ、条件を明記する。

「なぜ」を問う記述では、計算結果だけでなく、使った式変形や定理を言葉で結ぶ。

データの考察：代表値の選び方で結論が変わるため、平均値・中央値・最頻値を比較する。

数学的モデル：事象を式・グラフ・図に表し、結果を現実の意味に戻して妥当性を吟味する。

誤りの指摘：どの行が誤りか、正しい式や条件は何かを具体的に示す。