Tochigi Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide
Tochigi Public High School Entrance Examination - Mathematics · Work through your exam, one topic at a time.
栃木県公立高等学校入学者選抜の数学は、県内の公立高校・学科への進学を希望する中学3年生（および既卒者）が受験する学力検査の一つです。単独の資格ではなく、調査書や面接などと合わせて合否を判定するための資料として使われます。 出題範囲は中学校数学の全体にわたり、数と式、関数（比例・反比例・一次関数・y=ax²）、図形（平面図形・空間図形・合同・相似・証明）、資料の活用と確率、さらに考えた過程を説明する記述問題が含まれます。大問形式で、短答式の小問と、誘導のついた応用問題が組み合わされる点が特徴です。計算の正確さに加えて、根拠を示して説明する力、作図の技能、証明を書き切る力が問われます。身近な事象を数式やグラフで捉える「数学的活動」型の設問も出ます。 配点、試験時間、実施日程、合格者決定の方法などは年度ごとに栃木県教育委員会が公表します。当サイトは公式機関とは関係のない独立した学習サイトですので、数値は必ず公式の募集要項・実施要領で確認してください。 対策は、まず教科書レベルの計算と基本事項を確実にすること。次に証明と記述の「型」を身につけ、条件を式や図に表す練習を重ねます。過去の出題傾向を踏まえた類題演習と、間違いの原因を分類する間違い直しが得点を伸ばします。作図は定規とコンパスを使い、条件を満たす図を自分でかいて確かめておくと安心です。本番では、取れる問題を確実に取ることが結果を左右します。. Topics on this exam: 数と式（Numbers and Algebraic Expressions）, 関数（Functions: proportion, inverse proportion, linear, quadratic）, 図形（Geometry: plane figures, solids, congruence, similarity, proof）, 資料の活用・確率（Data Handling and Probability）, and 数学的活動・記述表現（Integrated Reasoning and Mathematical Communication）. The Tochigi Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide has 5 sections and about 202 words.
01数と式（Numbers and Algebraic Expressions）
栃木県公立高校入試の「数と式」は、正負の数、文字式、平方根、一次方程式・連立方程式・不等式などの計算と式変形を問う。大問1の小問集合では正確さと速さが、記述問題では「どの法則を使ったか」を式で示す力が試される。 引き算は足し算に直す。−3−(−5)=−3+5=2。 累乗の符号に注意する。(−3)²=9、−3²=−9。 分配法則 a(b+c)=ab+ac は、分数や負の数でも同じ。 平方根は √(a²b)=a√b（a 0）で簡単にし、分母は有理化する。 小数は分数に直すと約分が見える。0.75=3/4。 (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab、(a+b)(a−b)=a²−b² を左右に使えるようにする。因数分解では、最初に共通因数をくくり、次に公式を探す。二次方程式は因数分解を優先し、因数分解できないときは解の公式を使う。解の公式を使う前に、両辺を同じ数で割れないか確認する。等式の変形では、目的の文字を左辺に残し、他の項を移項する。 加減法か代入法で一文字を消す。係数をそろえるときは、両方の式に同じ数を掛ける。不等式では、両辺に負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが逆になる。解を数直線に表し、端点を含むか（≦か<か）を確認する。 √18+6/√2−√8 を計算する。√18=3√2、√8=2√2。6/√2=6√2/2=3√2。よって 3√2+3√2−2√2=4√2。分母の有理化を先にすると、項の種類がそろって計算しやすい。 √(a+b) を √a+√b と分解する誤り、−3² と (−3)² の混同、不等式の向きの反転忘れ、因数分解で共通因数をくくり忘れることが多い。また、答えが整数や分数で表せるのに小数で書いてしまう誤りもある。途中式を一行ずつ書き、最後に代入して検算する。. 平方根は √(a²b)=a√b と分母の有理化を先に行う.
40 words, under 1 min02関数（Functions: proportion, inverse proportion, linear, quadratic）
栃木県公立高校入試の「関数」は、比例・反比例、一次関数、関数 y=ax² の式とグラフ、変化の割合、交点、動点などを扱う。表・式・グラフを相互に読み替え、具体的な数値を求めるだけでなく、変化の様子を説明する力が問われる。 比例 y=ax では a=y/x で、グラフは原点を通る直線。反比例 y=a/x では a=xy で、グラフは双曲線になる。反比例では x と y の積が一定であることを使うと、点の座標を求めやすい。変域では、x の範囲に対応する y の範囲をグラフで確認する。 y=ax+b で、a は変化の割合（傾き）、b は y 切片。2点 (x₁,y₁)、(x₂,y₂) を通るとき、a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) で求め、一方の点を代入して b を決める。平行な直線は傾きが等しい。グラフから読み取る問題では、切片と交点が何を表すかを言葉にする。 y=ax² のグラフは放物線で、y 軸について対称。x が p から q まで増加するときの変化の割合は a(p+q) で求められる。変域を考えるとき、x の範囲に 0 が含まれると、y の最小値は 0 になるので注意する。動点の面積は、図形を分けて式にし、x の変域を明示する。 関数 y=ax² で、x が −2 から 3 まで増加するときの変化の割合が 2 である。変化の割合は a(p+q)=a(−2+3)=a なので、a=2。式は y=2x²。 変化の割合とグラフの傾きを混同する、反比例で a=xy を使わずに符号を誤る、二次関数の変域で 0 をまたぐ場合に最小値を端点と誤る、交点の座標を片方の式にしか代入しない、などの誤りが多い。求めた座標は必ず両方の式に代入して確認する。. 比例は a=y/x、反比例は a=xy で定数を求める. y=ax² の変化の割合は a(p+q) で求められる.
84 words, under 1 min03図形（Geometry: plane figures, solids, congruence, similarity, proof）
栃木県公立高校入試の「図形」は、平面図形の性質、合同・相似、証明、面積・体積、三平方の定理、空間図形の切断や展開図を扱う。証明では、仮定と結論を区別し、根拠となる定義・定理を明示して筋道を書くことが重要である。 三角形の合同条件は、3辺相等、2辺とその間の角、1辺とその両端の角。相似条件は、3組の辺の比、2組の辺の比とその間の角、2組の角。対応する頂点の順をそろえて書くと、辺の比や角の対応を間違えにくい。平行線では錯角・同位角が等しい。円周角の定理では、同じ弧に対する円周角は等しく、直径に対する円周角は90°である。 「仮定より」「共通な辺だから」「対頂角は等しいから」など、根拠を短く添える。結論を先に書き、そこへ至る条件を並べる。合同や相似を示した後は、対応する辺や角が等しいことを使う。 相似比が a:b の図形では、面積比は a²:b²、体積比は a³:b³。直角三角形では a²+b²=c²（斜辺 c）。空間図形では、切断面に直角三角形を見つけて三平方の定理を使う。 相似比 2:3 の相似な立体があり、小さい方の体積が 24 cm³ である。体積比は 2³:3³=8:27。大きい方の体積を V とすると 24:V=8:27。V=24×27/8=81 cm³。 相似の対応順を逆にする、面積比を相似比のまま使う、証明で「仮定」と「結論」を混同する、三平方の定理で斜辺を取り違える、などの誤りが多い。図に等しい角や辺の印を書き、使った根拠を必ず添える。. 相似比 a:b から面積比 a²:b²、体積比 a³:b³ になる.
37 words, under 1 min04資料の活用・確率（Data Handling and Probability）
栃木県公立高校入試の「資料の活用・確率」は、度数分布表やヒストグラムの読み取り、平均値・中央値・最頻値、相対度数、確率の計算を扱う。資料から傾向を読み取り、確率では「同様に確からしい」ことを前提に場合の数を数える。 平均値は合計÷個数。中央値はデータを小さい順に並べたときの真ん中の値で、偶数個なら中央2つの平均。最頻値は最も多く出る値。度数分布表では、階級値×度数で平均を近似できる。相対度数は 度数÷全体の度数。累積度数は小さい方から足し合わせる。度数の合計が全体と一致するか確認する。 確率＝ある事象が起こる場合の数÷すべての場合の数。樹形図や表を書き、順番を区別するか同時に取り出すかを決める。少なくとも1つ起こる確率は、余事象「1つも起こらない」を1から引くと速い。さいころの目のように区別できるものは区別して数える。 袋に赤玉3個、白玉2個、青玉1個が入っている。同時に2個取り出すとき、同じ色になる確率を求める。すべての場合の数は 6C2=15。同じ色は赤3個から2個で3通り、白2個から2個で1通り、青は1個なので0通り。合計4通り。よって 4/15。 同時に取り出す問題を順番に並べる問題として数え、分母と分子をそろえ忘れる。中央値を求める前に並べ替えを忘れる。相対度数の分母を全体でなく一部にする。余事象を使うときに「少なくとも」の条件を読み落とす。場合の数は、書き出した図と対応させて確認する。.
17 words, under 1 min05数学的活動・記述表現（Integrated Reasoning and Mathematical Communication）
栃木県公立高校入試の「数学的活動・記述表現」は、日常的な場面や規則性を数学的に捉え、表・式・図を使って考え、根拠を明示して説明する力を問う。答えの数値だけでなく、なぜその式になるのか、どの条件を使ったのかを文章で書く問題がある。 結論を先に書き、次に根拠、最後に計算や確認を続ける。「〜だから」「〜となる」を使い、主語と条件を省略しない。文字を使うときは、何を表す文字かを最初に定義する。n を使うなら「n は自然数」などの範囲も書く。複数の解法を比べる問題では、それぞれの良さを言葉にする。 表に番号と数量を書き、隣り合う値の差を調べる。差が一定なら一次式、差の差が一定なら二次式の可能性がある。図形の規則では、最初の数量と、1つ増えるごとに増える数量を分けて考える。グラフや表から読み取った事実と推測を区別する。 正方形を横一列に n 個並べるとき、必要なマッチ棒の本数を求める。1個目は4本。2個目以降は、隣と1本を共有するので1個増えるごとに3本増える。よって本数は 4+3(n−1)=3n+1。n=1 で4本、n=2 で7本となり、式と図が一致する。 計算だけを書いて根拠を書かない、文字の定義をしない、n の範囲を忘れる、図の一部だけを見て一般化する、単位を付け忘れる、などの誤りが多い。説明は、自分で読まずに第三者が読むつもりで、条件と結論を対応させて書く。. 例題では n=1、n=2 で式を検算する.
24 words, under 1 minMore study resources for Tochigi Public High School Entrance Examination - Mathematics
- Flashcards展開. 式の積を和や差の形に直す計算。分配法則を使って (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd のように各項を掛け合わせ、同類項をまとめる。.
- Cheat sheet展開公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a−b)^2=a^2−2ab+b^2、(a+b)(a−b)=a^2−b^2。.