2つのスマートフォン料金プランの逆転点を式で確かめる
高校進学を控えた結衣さんの家では、家族でスマートフォンの料金プランを見直している。候補は次の2つである。 Aプラン：基本料金が月1500円、通話料は1分ごとに20円（1分未満は切り上げ）。 Bプラン：基本料金が月500円、通話料は1分ごとに30円（1分未満は切り上げ）。 先月の通話時間は、結衣さんが65分、母親が120分、父親が40分であった。父親は「長く話す人ほどAプランが得だ」と言い、結衣さんは「何分を境に逆転するのか、式で確かめたい」と考えている。兄は「グラフの交点より右側がAプランだ」と覚えようとしているが、交点ちょうどのときにどちらが安いかは考えていない。家族で使える通話時間は1か月あたり600分以内であり、通話時間は1分単位で数えるものとする。通話時間をx分、その月の料金をy円とし、通話をしなかった月でも基本料金はかかるものとする。結衣さんは「100分を超えるとAプランが安くなる」と予想しているが、その予想が正しいかどうかはまだ確かめていない。
1. Aプラン、Bプランの料金yを、通話時間xの式で表しなさい。また、2つのプランの料金が等しくなる通話時間と、そのときの金額を求めなさい。
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基本料金と通話料の合計を式にする。 Aプラン：y = 20x + 1500 Bプラン：y = 30x + 500 料金が等しくなるのは 20x+1500 = 30x+500 のとき。 1500−500 = 30x−20x より 1000 = 10x、よって x = 100 このとき y = 20×100+1500 = 3500（Bプランでも 30×100+500 = 3500 で一致する）。 したがって100分のとき両プランの料金は等しく、3500円である。100分未満ではBプラン、100分より長いとAプランが安い。傾き（1分あたりの通話料）がAは20円、Bは30円なので、Aの直線の方がゆるやかで、交点より右ではAが下にくる。
2. 先月の結衣さん（65分）、母親（120分）、父親（40分）について、それぞれどちらのプランが安いかを、金額を示して判断しなさい。
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それぞれの式に代入して比べる。 結衣さん65分：A = 20×65+1500 = 1300+1500 = 2800円、B = 30×65+500 = 1950+500 = 2450円。Bプランが350円安い。 母親120分：A = 20×120+1500 = 2400+1500 = 3900円、B = 30×120+500 = 3600+500 = 4100円。Aプランが200円安い。 父親40分：A = 20×40+1500 = 800+1500 = 2300円、B = 30×40+500 = 1200+500 = 1700円。Bプランが600円安い。 以上から、通話時間が100分より短い2人（結衣さん・父親）はBプラン、100分より長い母親はAプランが安い。父親の「長く話す人ほどAプランが得」という言葉は、100分を境にした言い方に直す必要がある。
3. 通話時間がちょうど100分のときと99分のときの料金を比べ、「100分以上ならAプランが得」という言い方が正しいかどうかを、根拠を挙げて説明しなさい。
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100分ちょうど：A = 20×100+1500 = 3500円、B = 30×100+500 = 3500円で差はない。 99分：A = 20×99+1500 = 1980+1500 = 3480円、B = 30×99+500 = 2970+500 = 3470円で、Bプランが10円安い。 したがって「100分以上ならAプランが得」は正しくない。100分では両者は同じ金額で、Aが得になるのは100分より長いとき、つまり101分以上である。xは整数で数えるという条件があるため、境目の100分を含めるかどうかで結論が変わる。 グラフで見ても、2直線はx=100で交わり、x>100の範囲でAプランの直線がBプランの直線より下にくる。交点は「金額が同じになる点」であり、どちらかが得になる境目はそこから1分ずらした位置になることに注意する。