直角三角形の垂線がつくる3つの相似な三角形
3年生の相似の単元で、∠B=90°、AB=6cm、BC=8cmの直角三角形ABCを扱った。頂点Bから斜辺ACに垂線BHをひき、ACとの交点をHとする。先生は「この図の中に、大きさは違うが形の同じ三角形が3つ隠れている」と話した。翔太さんは、△ABHと△CBHが相似であることは見つけられたが、△ABHと△ABCが相似になる理由を、どの角とどの角が等しいのかを挙げて説明することができない。また、AHとHCの長さの比について「AB:BC=6:8=3:4だから、AH:HCも3:4になるはずだ」と予想し、ノートに書いている。授業の後半では、辺AC上に点Dをとって△ABDの面積を考える発展課題も提示されたが、まずはBH、AH、HCの長さを正確に求め、翔太さんの予想が正しいかどうかを確かめることになった。相似条件は「2組の角がそれぞれ等しい」を用い、長さは小数で表してよいものとする。
1. △ABHと△ABCが相似であることを、角に着目して証明しなさい。また、そのときの対応する辺を明確にしなさい。
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△ABHと△ABCにおいて ∠AHB = 90°（BHはACにひいた垂線だから） ∠ABC = 90°（仮定） よって ∠AHB = ∠ABC …① また、∠BAH と ∠BAC は同じ角を指すので ∠BAH = ∠BAC …② ①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから △ABH ∽ △ABC 対応を確認する。∠Aが共通、∠Hが∠Bに対応するので、残る∠ABHが∠Cに対応する。したがって辺は AB↔AC、AH↔AB、BH↔CB の順に対応する。 同様に、△CBHと△ABCも ∠CHB = ∠CBA = 90°、∠BCH = ∠BCA（共通）から相似である。3つの三角形はすべて相似で、直角をはさむ辺の長さの組み合わせだけが違う。
2. BH、AH、HCの長さを求めなさい。計算の根拠も書きなさい。
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まず斜辺ACを三平方の定理で求める。 AC = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10cm △ABH ∽ △ABC で、対応する辺の比は AB:AC = 6:10 = 3:5 である。 AHはABに対応するから AH:AB = 3:5、よって AH = 6×3/5 = 3.6cm BHはCBに対応するから BH:CB = 3:5、よって BH = 8×3/5 = 4.8cm HC = AC − AH = 10 − 3.6 = 6.4cm 検算：△ABHは直角三角形だから AH²+BH² = 3.6²+4.8² = 12.96+23.04 = 36 = 6² = AB² となり、三平方の定理が成り立つ。相似比を辺の対応と取り違えると値がずれるので、対応表を書いて確かめることが大切である。
3. 翔太さんの予想「AH:HC = AB:BC = 3:4」は正しいかどうか。正しい比と、そうなる理由を説明しなさい。
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AH = 3.6cm、HC = 6.4cm なので AH:HC = 36:64 = 9:16 であり、3:4にはならない。翔太さんの予想は誤りである。 理由：△ABH ∽ △ABC より AH:AB = AB:AC、すなわち AH = AB²/AC。同様に △CBH ∽ △ABC より HC = BC²/AC。 したがって AH:HC = AB²:BC² = 36:64 = 9:16 となる。 翔太さんは「AB:BC = AH:HC」と考えたが、相似な図形で等しくなるのは対応する辺どうしの比である。△ABHと△ABCの相似比は3:5、△CBHと△ABCの相似比は4:5と異なるため、AHとHCの比は辺の比の2乗の比になる。面積比が相似比の2乗になることとも整合する。