箱ひげ図からいえること・いえないこと
2年A組とB組（どちらも20人）で、1分間の反復横跳びの記録を測定し、箱ひげ図にまとめた。読み取れた値は次のとおりである。 A組：最小22回、第1四分位数28回、中央値34回、第3四分位数40回、最大53回 B組：最小26回、第1四分位数31回、中央値35回、第3四分位数38回、最大47回 学級代表の奈々さんは「B組の中央値がA組より1回大きいので、B組の平均もA組より大きいに違いない」と発言した。また、A組の記録の一覧を見た颯太さんは「A組で40回以上の生徒はちょうど5人だ」と断言した。先生は「箱ひげ図から言えることと言えないことを区別しよう。四分位数は、データを小さい順に並べたときの位置で決まる値だ」と板書した。記録はすべて整数で、同じ記録の生徒が複数いてもよいものとする。A組のデータは20個あり、中央値は10番目と11番目の平均、第1四分位数は5番目と6番目の平均、第3四分位数は15番目と16番目の平均として求めたものである。
1. A組とB組の四分位範囲をそれぞれ求め、記録の散らばりについて、箱ひげ図から読み取れることを説明しなさい。
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四分位範囲 = 第3四分位数 − 第1四分位数 A組：40 − 28 = 12回 B組：38 − 31 = 7回 B組の方が四分位範囲が小さく、中央の50%（20人なら10人）の記録が狭い範囲に集まっている。つまりB組の方が記録の散らばりが小さく、安定しているといえる。 範囲（最大−最小）で見ても A組は 53−22 = 31回、B組は 47−26 = 21回でB組が小さい。ただし範囲は極端な1つの記録で大きく変わるので、散らばりの比較には四分位範囲の方が適している。 なお、中央値はB組が1回大きいが、四分位範囲が小さいことと平均が大きいこととは別の話である。
2. 奈々さんの「B組の平均はA組より大きいに違いない」という判断は正しいか。箱ひげ図からわかることを根拠に説明しなさい。
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正しいとはいえない。 箱ひげ図に表されているのは最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値であり、平均値は表されていない。中央値が1回大きいというのは「20人のちょうど真ん中の順位の記録が1回大きい」というだけのことで、平均が大きいことを意味しない。 実際、A組は最大値が53回でB組の47回より6回も大きく、A組の上位の生徒の記録が非常に良ければ、平均はA組の方が大きくなることもあり得る。 平均を比べるには、記録の合計や平均値を直接計算して調べる必要がある。「中央値が大きい＝平均も大きい」と決めつけてはいけない。
3. 颯太さんの「A組で40回以上の生徒はちょうど5人だ」という断言は正しいか。20人という人数と第3四分位数が40回であることをもとに説明しなさい。
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正しくない。「ちょうど5人」とは限らず、「5人以上」である。 20人のデータを小さい順に並べると、第3四分位数は15番目と16番目の平均である。これが40回なので、16番目以降の5人（16〜20番目）はすべて40回以上である。つまり40回以上の生徒は少なくとも5人いる。 さらに、15番目が40回であれば6人、14番目も40回であれば7人となり得る。15番目と16番目の平均が40回になる組み合わせは（39回、41回）（40回、40回）（38回、42回）などさまざまで、40回ちょうどの人数によって「40回以上」の人数は変わる。 したがって箱ひげ図からいえるのは「40回以上の生徒が5人以上いる」というところまでで、ちょうど5人とは断定できない。断言するには記録の一覧を見る必要がある。