さいころゲームの公平性を場合の数で説明する
文化祭のクラス企画で、2つのさいころを同時に投げるゲームを考えることになった。原案は「出た目の積が偶数ならチャレンジャーの勝ち、奇数なら店側の勝ち」というルールである。企画係の涼太さんは「偶数と奇数の2通りだから、勝つ確率はどちらも1/2で公平だ」と説明し、クラスの了承を得ようとした。しかし、試作品で50回試したところ、チャレンジャーの勝ちが37回、店側の勝ちが13回であった。クラス会議では「公平にするためにルールを変えるべきだ」という意見と、「50回では偶然の偏りかもしれない」という意見が出て、話し合いが止まっている。先生は「確率は多数回の試行では安定するが、少数回の試行では偏る。まず理論上の確率を求め、そのうえでルールを設計しよう。説明には表や場合の数を使うとよい」と助言した。景品の予算の都合で、チャレンジャーが勝つ確率は1/2程度にしたいと考えている。さいころは1から6までのどの目も同じ確率で出るものとする。
1. 原案のゲームで、チャレンジャーが勝つ確率を、場合の数を根拠に求めなさい。また、涼太さんの説明のどこが誤っているかを指摘しなさい。
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2つのさいころの目の出方は 6×6 = 36通りで、どの組も同様に確からしい。 積が奇数になるのは、2つの目がともに奇数のときだけで、3×3 = 9通り。 よって積が偶数になるのは 36 − 9 = 27通りで、確率は 27/36 = 3/4 である。 涼太さんの誤りは「偶数・奇数の2通りに分かれるから確率は1/2ずつ」と考えた点にある。場合の数は27通りと9通りで等しくない。「2通りに分かれる」ことと「確率が1/2ずつ」であることは別問題である。 確率を比べるときは、起こり得る場合がすべて同様に確からしいかを確かめ、場合の数を数える必要がある。
2. 50回中37回チャレンジャーが勝ったという結果は、理論上の確率と矛盾するか。判断と根拠を書きなさい。
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矛盾しない。理論上の確率が3/4なら、50回中の勝ち数の期待値は 50×3/4 = 37.5回である。実際の37回はこれにほぼ一致しており、理論値とよく合っている。 したがって、この試行結果は「ゲームが公平である」ことの証拠にはならず、むしろ涼太さんの「1/2で公平」という説明が誤っていることを裏付けている。店側の勝ちが13回だったのも、期待値 50×1/4 = 12.5回とほぼ同じである。 試行回数が少ないと結果はばらつくが、今回のように理論値に近い結果が出たときは、理論上の確率を疑うのではなく、ルールの設計を見直すべきである。
3. このゲームを公平（どちらも確率1/2）にするルールを1つ考え、そのルールで確率が1/2になることを、場合の数を示して説明しなさい。
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案1：出た目の和が偶数ならチャレンジャー、奇数なら店側の勝ちとする。 和が偶数になるのは2つの目の偶奇が一致するときで、(偶数,偶数)が3×3=9通り、(奇数,奇数)が3×3=9通り、合わせて18通り。和が奇数になるのも18通り。よって確率はどちらも 18/36 = 1/2 で公平である。 案2：和が7なら引き分けでやり直し、6以下ならチャレンジャー、8以上なら店側の勝ちとする。 和が7になるのは6通りなので、勝敗が決まるのは30通り。そのうち和が6以下は 1+2+3+4+5 = 15通り、8以上も 5+4+3+2+1 = 15通りで、引き分けを除けばどちらも1/2になる。 説明の要点は「場合の数が等しいこと」を示すことである。「2通りに分かれる」だけでは公平とは言えない。表をかいて数えると、数え落としや重複を防げる。