関数（Functions: proportion, inverse proportion, linear, quadratic）
栃木県公立高校入試の「関数」は、比例・反比例、一次関数、関数 y=ax² の式とグラフ、変化の割合、交点、動点などを扱う。表・式・グラフを相互に読み替え、具体的な数値を求めるだけでなく、変化の様子を説明する力が問われる。
比例・反比例
比例 y=ax では a=y/x で、グラフは原点を通る直線。反比例 y=a/x では a=xy で、グラフは双曲線になる。反比例では x と y の積が一定であることを使うと、点の座標を求めやすい。変域では、x の範囲に対応する y の範囲をグラフで確認する。
一次関数
y=ax+b で、a は変化の割合（傾き）、b は y 切片。2点 (x₁,y₁)、(x₂,y₂) を通るとき、a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) で求め、一方の点を代入して b を決める。平行な直線は傾きが等しい。グラフから読み取る問題では、切片と交点が何を表すかを言葉にする。
関数 y=ax²
y=ax² のグラフは放物線で、y 軸について対称。x が p から q まで増加するときの変化の割合は a(p+q) で求められる。変域を考えるとき、x の範囲に 0 が含まれると、y の最小値は 0 になるので注意する。動点の面積は、図形を分けて式にし、x の変域を明示する。
例題
関数 y=ax² で、x が −2 から 3 まで増加するときの変化の割合が 2 である。変化の割合は a(p+q)=a(−2+3)=a なので、a=2。式は y=2x²。
失点しやすい点
変化の割合とグラフの傾きを混同する、反比例で a=xy を使わずに符号を誤る、二次関数の変域で 0 をまたぐ場合に最小値を端点と誤る、交点の座標を片方の式にしか代入しない、などの誤りが多い。求めた座標は必ず両方の式に代入して確認する。