図形（Geometry: plane figures, solids, congruence, similarity, proof）
栃木県公立高校入試の「図形」は、平面図形の性質、合同・相似、証明、面積・体積、三平方の定理、空間図形の切断や展開図を扱う。証明では、仮定と結論を区別し、根拠となる定義・定理を明示して筋道を書くことが重要である。
合同と相似
三角形の合同条件は、3辺相等、2辺とその間の角、1辺とその両端の角。相似条件は、3組の辺の比、2組の辺の比とその間の角、2組の角。対応する頂点の順をそろえて書くと、辺の比や角の対応を間違えにくい。平行線では錯角・同位角が等しい。円周角の定理では、同じ弧に対する円周角は等しく、直径に対する円周角は90°である。
証明の型
「仮定より」「共通な辺だから」「対頂角は等しいから」など、根拠を短く添える。結論を先に書き、そこへ至る条件を並べる。合同や相似を示した後は、対応する辺や角が等しいことを使う。
面積・体積と三平方の定理
相似比が a:b の図形では、面積比は a²:b²、体積比は a³:b³。直角三角形では a²+b²=c²（斜辺 c）。空間図形では、切断面に直角三角形を見つけて三平方の定理を使う。
例題
相似比 2:3 の相似な立体があり、小さい方の体積が 24 cm³ である。体積比は 2³:3³=8:27。大きい方の体積を V とすると 24:V=8:27。V=24×27/8=81 cm³。
失点しやすい点
相似の対応順を逆にする、面積比を相似比のまま使う、証明で「仮定」と「結論」を混同する、三平方の定理で斜辺を取り違える、などの誤りが多い。図に等しい角や辺の印を書き、使った根拠を必ず添える。