Mezcla de tres preparados con un parámetro de sustitución
Una cooperativa agroalimentaria fabrica tres preparados con tres recursos escasos. Para una prueba piloto, la matriz de coeficientes que relaciona las cantidades x, y, z (en cientos de kg) de cada preparado con el consumo de los recursos es A = [[a,1,1],[1,a,1],[1,1,a]], donde a es la proporción de aditivo reciclado y puede tomar cualquier valor real en el estudio. Se desea que el consumo total sea exactamente de 1 unidad de cada recurso, es decir, A·(x,y,z)^T = (1,1,1)^T. El consejo necesita saber para qué valores de a el plan es único, cuándo hay infinitas posibilidades y cuándo es imposible. Si hay infinitas, pide una familia paramétrica y una solución con z=0; si no hay solución, quiere identificar la incompatibilidad. No se permite usar calculadora simbólica: hay que justificar los rangos y contrastar el caso crítico con una combinación de filas.
1. Calcula det(A) en función de a y discute, según los valores de a, si el sistema A·(x,y,z)^T=(1,1,1)^T tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.
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Restando la primera fila a las otras dos y desarrollando se obtiene det(A)=(a+2)(a-1)^2. Por tanto:
- Si a≠1 y a≠-2, det(A)≠0, el rango de A es 3 y el sistema es compatible determinado: solución única.
- Si a=1, la matriz tiene todos sus elementos iguales a 1, luego rango(A)=1. El vector b=(1,1,1) está en el espacio de columnas, ya que coincide con la primera columna, así que rango(A|b)=1. El sistema es compatible indeterminado con 3-1=2 parámetros.
- Si a=-2, la suma de las tres filas de A es (0,0,0). El vector (1,1,1) es un vector por la izquierda que anula A. Como (1,1,1)·b=3≠0, b no pertenece al espacio de columnas y rango(A|b)=3, mientras que rango(A)=2. Por Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible.
El caso crítico no se decide solo por el determinante: hay que comparar rangos.
2. Resuelve el sistema para a=0 y para a=1. En el segundo caso, da la solución general y una solución concreta con z=0.
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Para a=0, el sistema es:
y+z=1, x+z=1, x+y=1.
Restando las dos primeras ecuaciones se obtiene y=x; combinando con la tercera, 2x=1, luego x=y=z=1/2. Solución única: (1/2,1/2,1/2).
Para a=1, las tres ecuaciones se reducen a x+y+z=1. La solución general es
(x,y,z)=(1-s-t, s, t), con s,t∈R.
Imponiendo z=0 queda t=0 y x=1-s, y=s. Una solución concreta es s=0: (1,0,0). También sirve cualquier otra de la familia, por ejemplo s=1: (0,1,0).
3. Interpreta el caso a=-2: ¿qué significa que no haya solución? Comprueba la incompatibilidad mediante la combinación fila1+fila2+fila3 y explica qué recurso impide el ajuste.
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Para a=-2, la suma de las tres filas de la matriz de coeficientes es (0,0,0):
(-2,1,1)+(1,-2,1)+(1,1,-2)=(0,0,0).
Por tanto, cualquier combinación de las ecuaciones con coeficientes 1, 1 y 1 anula el lado izquierdo. Sin embargo, al sumar los términos independientes se obtiene 1+1+1=3, no 0. La contradicción 0=3 demuestra que no existe ningún plan (x,y,z) que consuma exactamente 1 unidad de cada recurso.
En términos de producción, el aditivo reciclado en proporción a=-2 crea una dependencia lineal entre los tres recursos: los consumos no son independientes y el objetivo fijado es inalcanzable. No es un problema de redondeo ni de una ecuación mal resuelta; es una incompatibilidad estructural del sistema.