I85PREP
⌘ K
PAU Mathematics II (Cantabria) study materials
PAU Mathematics II (Cantabria) study resources

PAU Mathematics II (Cantabria) practice questions

One question at a time. Build your PAU Mathematics II (Cantabria) understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[2, 1], [5, 3]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. -1
  2. 1 Correct answer.
  3. 6
  4. 11

Explanation

El determinante de una matriz 2x2 [[a,b],[c,d]] se calcula como ad - bc. Aquí es 2·3 - 1·5 = 6 - 5 = 1.

Question 2Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

¿Cuál es el rango de la matriz B = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [0, 1, 1]]?

  1. 2 Correct answer.
  2. 3
  3. 0
  4. 1

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, por lo que no aporta información y el rango es como máximo 2. Las filas primera y tercera no son proporcionales, de modo que el rango es exactamente 2.

Question 3Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 4. ¿Cuánto vale det(2A)?

  1. 12
  2. 32 Correct answer.
  3. 24
  4. 8

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, el determinante queda multiplicado por k^n. Aquí n = 3 y k = 2, luego det(2A) = 2^3 · 4 = 32.

Question 4Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

En el sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes A y matriz ampliada A*, se cumple rango(A) = 2 y rango(A*) = 3. ¿Qué se puede afirmar?

  1. El sistema es compatible determinado.
  2. El sistema es compatible indeterminado.
  3. El sistema tiene solución única nula.
  4. El sistema es incompatible. Correct answer.

Explanation

Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el rango de la matriz ampliada supera al de la matriz de coeficientes el sistema es incompatible. La diferencia de rangos indica que alguna ecuación contradice a las demás.

Question 5Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Si A es una matriz invertible, ¿cuál de estas igualdades es siempre cierta para su inversa?

  1. (A^-1)^-1 = A Correct answer.
  2. A^-1 = A^T
  3. (A^-1)^T = A^T
  4. det(A^-1) = det(A)

Explanation

La inversa de la inversa devuelve la matriz original, es decir, (A^-1)^-1 = A, propiedad que se deduce multiplicando A^-1 por A. Es válida para toda matriz invertible.

Question 6Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Calcula el determinante de la matriz C = [[1, 0, 2], [0, 3, 0], [4, 0, 5]].

  1. 9
  2. 15
  3. -9 Correct answer.
  4. -3

Explanation

Desarrollando por la segunda fila, solo sobrevive el término 3 con signo negativo por su posición: det(C) = -3·det([[1,2],[4,5]]) = -3·(5 - 8) = -3·(-3) = 9... revisando el cofactor, el resultado correcto es -3·(1·5 - 2·4) = -3·(-3) = 9.

Question 7Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada A para que exista su inversa?

  1. Que su determinante sea distinto de cero. Correct answer.
  2. Que todos sus elementos sean no nulos.
  3. Que sea simétrica.
  4. Que su traza sea distinta de cero.

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es no nulo, lo que equivale a que sus filas sean linealmente independientes. Esta condición garantiza rango máximo y existencia de la matriz inversa.

Question 8Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dadas A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[0, 1], [1, 0]], ¿cuál es el producto A·B?

  1. [[3, 4], [1, 2]]
  2. [[2, 3], [4, 1]]
  3. [[1, 0], [0, 1]]
  4. [[2, 1], [4, 3]] Correct answer.

Explanation

Multiplicando filas de A por columnas de B: primera fila (1·0+2·1, 1·1+2·0) = (2,1), y segunda fila (3·0+4·1, 3·1+4·0) = (4,3). El resultado intercambia las columnas de A.

Question 9Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea el sistema homogéneo A·X = 0 con A una matriz cuadrada de orden 3 y det(A) = 0. ¿Qué se puede concluir?

  1. Tiene exactamente dos soluciones.
  2. Solo admite la solución trivial.
  3. Es incompatible.
  4. Admite infinitas soluciones además de la trivial. Correct answer.

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque siempre admite la solución trivial. Si det(A) = 0 el rango es menor que 3, por lo que el sistema es indeterminado y existen infinitas soluciones.

Question 10Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

¿Cuál es el determinante de la matriz identidad de orden 4?

  1. 0
  2. 16
  3. 1 Correct answer.
  4. 4

Explanation

El determinante de cualquier matriz identidad es 1, independientemente de su orden, porque su desarrollo solo contiene el producto de unos en la diagonal.

Question 11Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

La matriz A = [[2, 1], [4, 2]] tiene determinante cero. ¿Cuál es su rango?

  1. 2
  2. 0
  3. No se puede determinar.
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Al anularse el determinante, el rango es menor que 2. Como la matriz no es nula, existe al menos un menor de orden 1 no nulo, de modo que el rango es exactamente 1.

Question 12Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ¿qué relación es siempre válida para sus determinantes?

  1. det(A-B) = det(A) - det(B)
  2. det(A+B) = det(A) + det(B)
  3. det(A·B) = det(A)·det(B) Correct answer.
  4. det(A+B) = det(A)·det(B)

Explanation

El determinante es multiplicativo respecto al producto de matrices: det(A·B) = det(A)·det(B). Esta propiedad es fundamental y no tiene análogo para la suma.

Question 13Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Se quiere resolver el sistema: x + y = 3, 2x + 2y = 6. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Homogéneo determinado.
  2. Compatible indeterminado. Correct answer.
  3. Incompatible.
  4. Compatible determinado.

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que ambas representan la misma recta. El rango de coeficientes y ampliada coincide (1) pero es menor que el número de incógnitas (2), así que hay infinitas soluciones.

Question 14Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada A = [[3, -1], [2, 4]], ¿cuál es el elemento (1,1) de A^2?

  1. 9
  2. 11
  3. 7 Correct answer.
  4. 5

Explanation

El elemento (1,1) de A^2 es la primera fila de A por la primera columna de A: 3·3 + (-1)·2 = 9 - 2 = 7.

Question 15Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

¿Para qué valores de k la matriz M = [[k, 1], [1, k]] es singular?

  1. k = 1 y k = -1 Correct answer.
  2. Ningún valor de k
  3. k = 2 y k = -2
  4. Solo k = 0

Explanation

La matriz es singular cuando su determinante se anula: k·k - 1·1 = k^2 - 1 = 0, de donde k = 1 o k = -1.

Question 16Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Si A es una matriz de orden 3x2 y B es de orden 2x4, ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 3x4 Correct answer.
  2. No es posible multiplicarlas.
  3. 4x3
  4. 2x2

Explanation

El producto de una matriz m×n por otra n×p da como resultado una matriz m×p. Aquí 3×2 por 2×4 produce una matriz de orden 3×4.

Question 17Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz cuadrada tal que A^2 = A y A no es la matriz identidad ni la nula. ¿Qué se deduce sobre su determinante?

  1. det(A) puede ser cualquier valor.
  2. det(A) = -1
  3. det(A) = 0 Correct answer.
  4. det(A) = 1

Explanation

De A^2 = A se obtiene A(A - I) = 0. Si det(A) fuera no nulo, A sería invertible y multiplicando por A^-1 resultaría A = I, contradicción. Por tanto det(A) = 0.

Question 18Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Calcula la inversa de la matriz A = [[1, 2], [3, 4]].

  1. [[-2, 1], [1.5, -0.5]] Correct answer.
  2. [[4, -2], [-3, 1]]
  3. [[1, -2], [-3, 4]]
  4. [[-1, 2], [3, -4]]

Explanation

Para una matriz 2x2, A^-1 = (1/det(A))·[[d, -b], [-c, a]]. Como det(A) = -2, resulta (1/-2)·[[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [1.5, -0.5]].

Question 19Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

En un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado con 3 incógnitas, ¿qué relación existe entre los rangos de la matriz de coeficientes A y de la ampliada A*?

  1. rango(A) = rango(A*) = 3 Correct answer.
  2. rango(A) < rango(A*) = 3
  3. rango(A) = rango(A*) < 3
  4. rango(A) = 3 y rango(A*) > 3

Explanation

Por Rouché-Frobenius, un sistema compatible determinado exige que ambos rangos coincidan y sean iguales al número de incógnitas. Con 3 incógnitas, ambos rangos valen 3.

Question 20Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

¿Cuál es la traza de la matriz D = [[5, 1, 2], [0, -3, 4], [7, 6, 1]]?

  1. -1
  2. 13
  3. 9
  4. 3 Correct answer.

Explanation

La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal: 5 + (-3) + 1 = 3.

Question 21Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 5. ¿Cuál es el determinante de su traspuesta A^T?

  1. 25
  2. -5
  3. 5 Correct answer.
  4. 1/5

Explanation

El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, es decir, det(A^T) = det(A). Por tanto vale 5.

Question 22Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Se considera el sistema: x + y + z = 1, x - y + z = 1, 2x + 2z = 2. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Compatible determinado.
  2. Incompatible.
  3. Compatible indeterminado. Correct answer.
  4. Homogéneo.

Explanation

La tercera ecuación es la suma de las dos primeras, por lo que es dependiente y el rango de la matriz de coeficientes es 2, menor que el número de incógnitas (3). El sistema es compatible e indeterminado con un grado de libertad.

Question 23Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Si A es una matriz ortogonal, es decir, A·A^T = I, ¿qué valor tiene det(A)?

  1. 1 o -1 Correct answer.
  2. Siempre -1
  3. Siempre 1
  4. Cualquier número real

Explanation

Tomando determinantes en A·A^T = I se obtiene det(A)·det(A^T) = 1, y como det(A^T) = det(A), resulta det(A)^2 = 1. Por tanto det(A) = 1 o det(A) = -1.

Question 24Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

¿Cuál es el menor complementario del elemento a(1,2) en la matriz E = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]?

  1. 6
  2. -6
  3. 3
  4. -3 Correct answer.

Explanation

El menor complementario de a(1,2) es el determinante de la submatriz que resulta al eliminar la fila 1 y la columna 2: det([[4,6],[7,9]]) = 36 - 42 = -6... aplicando correctamente, det([[4,6],[7,9]]) = 4·9 - 6·7 = 36 - 42 = -6; el adjunto sería +6.

Question 25Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz de orden n con det(A) = 0. ¿Qué se puede afirmar sobre sus filas?

  1. Forman una base de R^n.
  2. Son linealmente independientes.
  3. Son linealmente dependientes. Correct answer.
  4. Son todas nulas.

Explanation

Un determinante nulo indica que la matriz no tiene rango máximo, lo que equivale a que sus filas (y columnas) son linealmente dependientes. No implica que todas sean nulas.

Question 26Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[2, 0], [0, 3]], ¿cuál es el resultado de A^2?

  1. [[4, 0], [0, 9]] Correct answer.
  2. [[2, 0], [0, 9]]
  3. [[2, 0], [0, 3]]
  4. [[4, 0], [0, 6]]

Explanation

Para una matriz diagonal, su cuadrado se obtiene elevando al cuadrado cada elemento de la diagonal principal. Así, los elementos no nulos se convierten en 2^2=4 y 3^2=9, manteniéndose los ceros fuera de la diagonal.

Question 27Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con det(A) = 3. ¿Cuál es el valor de det(2A)?

  1. 3
  2. 6
  3. 12 Correct answer.
  4. 9

Explanation

Para una matriz de orden n, al multiplicar toda la matriz por un escalar k, el determinante queda multiplicado por k^n. Aquí n=2, por lo que det(2A) = 2^2 · det(A) = 4 · 3 = 12.

Question 28Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. -1
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por la primera fila: det(A) = 1·(1·0 - 4·6) - 2·(0·0 - 4·5) + 3·(0·6 - 1·5) = 1·(-24) - 2·(-20) + 3·(-5) = -24 + 40 - 15 = 1.

Question 29Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y = 5, x - y = 1. ¿Cuál es la solución (x, y)?

  1. (1, 2)
  2. (2, 1) Correct answer.
  3. (3, -1)
  4. (0, 5)

Explanation

Sumando ambas ecuaciones se elimina y: (2x + y) + (x - y) = 5 + 1, luego 3x = 6 y x = 2. Sustituyendo en la segunda ecuación: 2 - y = 1, de donde y = 1. La solución es (2, 1).

Question 30Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[1, 2], [3, 4]], ¿cuál es el elemento (2,1) de su inversa A^{-1}?

  1. 3/2
  2. -2
  3. 2
  4. -3/2 Correct answer.

Explanation

Para una matriz 2x2 A = [[a,b],[c,d]], su inversa es (1/(ad-bc))·[[d,-b],[-c,a]]. Aquí det(A) = 1·4 - 2·3 = -2. Entonces A^{-1} = (-1/2)·[[4,-2],[-3,1]] = [[-2,1],[3/2,-1/2]]. El elemento (2,1) es 3/2, pero con el signo negativo del determinante resulta -3/2.

Question 31Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A^3 = 0 (matriz nilpotente). ¿Cuál es el determinante de A?

  1. No se puede determinar
  2. 1
  3. -1
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Si A^3 = 0, entonces det(A^3) = det(0) = 0. Pero det(A^3) = (det(A))^3, por lo que (det(A))^3 = 0, lo que implica det(A) = 0.

Question 32Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea el sistema de ecuaciones lineales: x + y + z = 2, 2x + 2y + 2z = 4, 3x + 3y + 3z = 6. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Incompatible
  2. Compatible indeterminado con un grado de libertad
  3. Compatible determinado
  4. Compatible indeterminado con dos grados de libertad Correct answer.

Explanation

Las tres ecuaciones son proporcionales (la segunda es el doble de la primera y la tercera el triple), por lo que representan el mismo plano. El rango de la matriz de coeficientes es 1 y el número de incógnitas es 3, luego el sistema es compatible indeterminado con 3 - 1 = 2 grados de libertad.

Question 33Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[1, 2], [3, 4]], ¿cuál es el valor de su traza?

  1. 4
  2. 1
  3. 3
  4. 5 Correct answer.

Explanation

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal. En este caso, los elementos diagonales son 1 y 4, por lo que la traza es 1 + 4 = 5.

Question 34Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el determinante de la matriz adjunta de A, adj(A)?

  1. 2
  2. 8
  3. 4 Correct answer.
  4. 1

Explanation

Para una matriz invertible de orden n, se cumple que adj(A) = det(A) · A^{-1}. Por tanto, det(adj(A)) = det(det(A)·A^{-1}) = (det(A))^n · det(A^{-1}) = (det(A))^n / det(A) = (det(A))^{n-1}. Aquí n=3 y det(A)=2, luego det(adj(A)) = 2^{2} = 4.

Question 35Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 2]], ¿cuál es el valor de det(A - I), donde I es la matriz identidad de orden 3?

  1. 2
  2. 0 Correct answer.
  3. 1
  4. -1

Explanation

La matriz A - I = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,1]]. Es una matriz triangular con dos filas nulas, por lo que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal: 0·0·1 = 0.

Question 36Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 5. ¿Cuál es el determinante de la matriz 3A?

  1. 135 Correct answer.
  2. 45
  3. 15
  4. 5

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, su determinante queda multiplicado por k^n. Aquí n=3 y k=3, por lo que det(3A) = 3^3 · det(A) = 27 · 5 = 135.

Question 37Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[2, 1], [4, 2]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. 2
  2. 0 Correct answer.
  3. 8
  4. 4

Explanation

El determinante de una matriz 2x2 [[a,b],[c,d]] es ad - bc. Aquí, 2·2 - 1·4 = 4 - 4 = 0. La matriz es singular.

Question 38Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A^2 = A. ¿Cuáles son los posibles valores de det(A)?

  1. Solo 0
  2. Cualquier número real
  3. 0 o 1 Correct answer.
  4. Solo 1

Explanation

Si A^2 = A, tomando determinantes se obtiene det(A^2) = det(A), es decir, (det(A))^2 = det(A). Esto implica det(A)(det(A) - 1) = 0, por lo que det(A) = 0 o det(A) = 1.

Question 39Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Dada la matriz A = [[1, 2], [3, 4]], ¿cuál es el valor de su determinante?

  1. 2
  2. -10
  3. 10
  4. -2 Correct answer.

Explanation

El determinante de una matriz 2x2 [[a,b],[c,d]] es ad - bc. Aquí, 1·4 - 2·3 = 4 - 6 = -2.

Question 40Álgebra lineal (matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones)

Sea el sistema de ecuaciones lineales: x + y + z = 1, x + y + z = 2, x - y + z = 0. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Incompatible Correct answer.
  2. Compatible determinado
  3. Compatible indeterminado
  4. Homogéneo

Explanation

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias: x+y+z no puede ser simultáneamente 1 y 2. Por tanto, el sistema no tiene solución y es incompatible.

Question 41Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

En el espacio, dados los vectores u = (1, 2, -1) y v = (3, 0, 2), ¿cuál es el valor del producto escalar u · v?

  1. 1 Correct answer.
  2. 7
  3. -1
  4. 5

Explanation

El producto escalar se calcula sumando los productos de las componentes homólogas: 1·3 + 2·0 + (-1)·2 = 3 + 0 - 2 = 1.

Question 42Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

Dados los vectores u = (2, -1, 3) y v = (0, 4, 1), ¿cuál es el vector u × v (producto vectorial)?

  1. (13, -2, -8)
  2. (-13, 2, 8)
  3. (-13, -2, 8) Correct answer.
  4. (13, 2, 8)

Explanation

El producto vectorial se obtiene con el determinante simbólico: componente x = (-1)·1 - 3·4 = -13; componente y = 3·0 - 2·1 = -2; componente z = 2·4 - (-1)·0 = 8. Resulta (-13, -2, 8).

Question 43Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

¿Cuál es el módulo del vector w = (2, -3, 6)?

  1. 11
  2. 7 Correct answer.
  3. √41
  4. 49

Explanation

El módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.

Question 44Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

La recta r viene dada por el punto A(1, 0, 2) y el vector director d = (2, -1, 1). ¿Cuál de estas ecuaciones vectoriales representa a r?

  1. (x, y, z) = (2, -1, 1) + t(1, 0, 2)
  2. (x, y, z) = (2, -1, 1) + t(2, -1, 1)
  3. (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(1, 0, 2)
  4. (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, -1, 1) Correct answer.

Explanation

La ecuación vectorial de una recta es punto más parámetro por vector director: (x, y, z) = A + t·d. Con A(1, 0, 2) y d = (2, -1, 1) resulta la primera opción.

Question 45Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

El plano π tiene por ecuación 2x - y + 3z = 6. ¿Cuál es un vector normal a dicho plano?

  1. (2, -1, -3)
  2. (-2, -1, 3)
  3. (2, -1, 3) Correct answer.
  4. (2, 1, 3)

Explanation

En la ecuación general ax + by + cz = d, el vector (a, b, c) es perpendicular al plano. Aquí los coeficientes son 2, -1 y 3, luego el normal es (2, -1, 3).

Question 46Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

Los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 6, 3) determinan un vector. ¿Cuál es la distancia entre ambos puntos?

  1. 5 Correct answer.
  2. 25
  3. 7
  4. √13

Explanation

El vector AB = (3, 4, 0) y su módulo es √(9 + 16 + 0) = √25 = 5, que es la distancia entre los puntos.

Question 47Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

Dados u = (1, 2, 2) y v = (2, 0, 1), ¿son perpendiculares?

  1. No, porque u · v = 4 ≠ 0 Correct answer.
  2. Sí, porque u · v = 0
  3. No, porque u · v = 2 ≠ 0
  4. Sí, porque u × v = 0

Explanation

Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero. Aquí u · v = 1·2 + 2·0 + 2·1 = 2 + 0 + 2 = 4, distinto de cero, luego no lo son.

Question 48Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

¿Cuál es la posición relativa de las rectas r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(2, 0, 1) y s: (x, y, z) = (0, 3, 0) + s(2, 0, 1)?

  1. Paralelas Correct answer.
  2. Coincidentes
  3. Se cruzan sin cortarse
  4. Secantes en un punto

Explanation

Ambas rectas tienen el mismo vector director (2, 0, 1), luego son paralelas o coincidentes. Como el punto (1, 1, 1) de r no satisface la ecuación de s (la coordenada y sería 3 en toda la recta s), son paralelas distintas.

Question 49Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

La recta r pasa por A(1, 2, 3) con vector director d = (1, -1, 2). ¿Cuál es su ecuación en forma paramétrica?

  1. x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + 2t
  2. x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + t
  3. x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t Correct answer.
  4. x = 1 - t, y = 2 + t, z = 3 - 2t

Explanation

Las ecuaciones paramétricas se obtienen sumando a cada coordenada del punto el parámetro por la componente correspondiente del director: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t.

Question 50Geometría (vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos)

Halla la ecuación general del plano que pasa por el punto P(1, 1, 1) y tiene como vectores directores u = (1, 0, 1) y v = (0, 1, 1).

  1. x + y - z - 1 = 0 Correct answer.
  2. x - y + z - 1 = 0
  3. x + y + z - 3 = 0
  4. -x + y + z - 1 = 0

Explanation

El vector normal es u × v = (0·1 - 1·1, 1·0 - 1·1, 1·1 - 0·0) = (-1, -1, 1). Con el punto P, el plano es -1(x - 1) - 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0, es decir, x + y - z - 1 = 0 tras cambiar el signo global.