PAU Mathematics II (Cantabria) common mistakes
PAU Mathematics II (Cantabria) · Understand the traps and how to avoid them.
Al resolver un sistema por Gauss, el alumno opera solo con los coeficientes de las incógnitas y olvida aplicar la misma operación de fila a la columna de términos independientes, o cambia el signo de un término al restar filas y no lo comprueba sustituyendo la solución en la ecuación original.
El procedimiento se aprende de forma mecánica como una secuencia de 'sumar y restar filas' sin entender que cada fila es una ecuación completa; el trabajo se hace en línea y sin verificación final, de modo que un error de signo se propaga sin detectarse.
What to do instead
Escribir siempre la matriz ampliada completa, incluyendo la columna de términos independientes separada por una barra, y al terminar sustituir la solución obtenida en las ecuaciones originales (no en las transformadas). Si una ecuación no se cumple, revisar la fila donde se produjo la primera discrepancia en lugar de repetir todo el proceso.
Al discutir un sistema con parámetro, el alumno iguala el determinante de la matriz de coeficientes a cero, obtiene los valores críticos y se detiene ahí, sin analizar después el rango de la matriz ampliada para cada uno de esos valores, por lo que confunde sistemas compatibles indeterminados con incompatibles.
Se memoriza 'determinante cero = sin solución' como regla única y no se interioriza el teorema de Rouché-Frobenius; además el análisis caso por caso consume tiempo y se percibe como opcional.
What to do instead
Estructurar la respuesta en dos fases explícitas: primero los valores del parámetro con determinante no nulo (sistema compatible determinado, con la solución por Cramer), y después, para cada valor crítico, sustituirlo en la matriz ampliada y calcular rangos por menores. Concluir citando rangos y número de incógnitas en cada caso, no solo el determinante.
Al calcular un determinante 3x3 o 4x4, el alumno desarrolla por adjuntos pero se equivoca en la matriz de signos (+ - + / - + - / + - +) o no traspone correctamente al construir la matriz adjunta para hallar la inversa, y entrega una inversa que no verifica.
La regla de signos se aplica de memoria sin asociarla a la posición (i+j); el paso de matriz adjunta a traspuesta se confunde con la propia matriz de cofactores y no se comprueba el resultado.
What to do instead
Escribir el signo (-1)^(i+j) junto a cada cofactor antes de multiplicar, y comprobar siempre A·A⁻¹ = I con al menos la primera fila. Para determinantes grandes, usar propiedades (sacar factor común de una fila, hacer ceros) para reducir a orden 2 antes de desarrollar.
En problemas de rectas y planos, el alumno confunde el vector director de una recta con el vector normal de un plano: al hallar la recta perpendicular a un plano usa el vector normal como si fuera director del plano, o al calcular la distancia punto-plano proyecta sobre un vector que no es perpendicular.
Los dos vectores aparecen en las mismas ecuaciones (forma general del plano, ecuaciones paramétricas de la recta) y se memorizan las fórmulas sin distinguir su significado geométrico; falta el hábito de dibujar la configuración.
What to do instead
Antes de calcular, identificar por escrito qué objeto es cada vector: el normal del plano Ax+By+Cz+D=0 es (A,B,C) y sirve como director de toda recta perpendicular a ese plano. Usar la fórmula de distancia punto-plano solo con el normal normalizado, y comprobar el resultado con un caso límite (punto del plano debe dar distancia cero).
Al estudiar la posición relativa de dos rectas o de recta y plano, el alumno se limita a comprobar si los vectores directores son paralelos y concluye 'se cortan' o 'se cruzan' sin calcular el rango del sistema ni comprobar si el punto de una recta pertenece a la otra.
Se reduce el problema a comparar direcciones por proporcionalidad, lo que solo distingue paralelismo; la distinción entre rectas secantes y que se cruzan exige resolver un sistema y ese paso se omite por prisas.
What to do instead
Clasificar siempre en dos niveles: primero comparar directores (paralelos o no), y después, si no son paralelos, plantear el sistema con las ecuaciones paramétricas de ambas rectas e intentar resolverlo; si es incompatible, las rectas se cruzan. Para recta y plano, sustituir la recta en la ecuación del plano y analizar la ecuación en el parámetro.
Al calcular un límite con indeterminación 0/0 o ∞/∞, el alumno aplica L'Hôpital sin comprobar antes la indeterminación, o deriva mal porque deriva el cociente como si fuera un producto, y en límites laterales de funciones a trozos ignora que la expresión cambia según el lado.
L'Hôpital se percibe como fórmula universal y se aplica a cualquier cociente; además el alumno no reescribe la función ni verifica la forma indeterminada, y en funciones definidas a trozos no separa los límites laterales.
What to do instead
Antes de derivar, sustituir el valor y escribir explícitamente la forma obtenida (0/0, ∞/∞, 0·∞...). Si es 0·∞ o ∞-∞, transformarla primero. En funciones a trozos, calcular lím(x→a⁻) y lím(x→a⁺) por separado usando la rama correspondiente y comparar con el valor f(a) para decidir continuidad.
En optimización, el alumno plantea la función objetivo, deriva, iguala a cero y da por bueno el punto crítico sin comprobar que es máximo o mínimo, ni verifica que cumple las restricciones del enunciado (dimensiones positivas, suma fija, dominio admisible).
Se identifica 'derivada cero' con 'óptimo' y se omite el estudio del signo de la derivada o de la segunda derivada; las restricciones se leen al principio y se olvidan al final.
What to do instead
Cerrar siempre el problema con tres comprobaciones: signo de f' a ambos lados del punto crítico (o f'' en el punto), pertenencia del punto al dominio del problema y verificación de las restricciones numéricas. Escribir la conclusión en términos del enunciado (dimensiones, precio, tiempo), no solo el valor de x.
Al representar una función, el alumno calcula derivadas y asíntotas pero no estudia el dominio ni los puntos de corte con los ejes, y dibuja una curva que atraviesa una asíntota vertical o que no respeta el signo de f en cada intervalo.
Se priorizan los cálculos algebraicos sobre el análisis global; el dominio se considera un trámite y no se usa para dividir la recta real en intervalos donde estudiar monotonía y curvatura.
What to do instead
Trabajar con una tabla de intervalos construida a partir del dominio y de los ceros de f, f' y f'': en cada intervalo anotar signo de f, de f' (crecimiento) y de f'' (concavidad). Dibujar al final respetando esa tabla y comprobar que la gráfica no cruza las asíntotas verticales.
En el cálculo de áreas entre curvas, el alumno integra directamente la diferencia de funciones entre los puntos de corte sin comprobar qué función está por encima en cada tramo, o no localiza todos los puntos de corte, obteniendo un área con signo negativo o incompleta.
Se memoriza 'área = integral de f - g' como receta y se olvida que la integral definida da área con signo; cuando las curvas se cruzan, la diferencia cambia de signo y el resultado se resta en lugar de sumarse.
What to do instead
Antes de integrar, resolver f(x)=g(x), ordenar los cortes y estudiar el signo de f-g en cada intervalo (con un punto de prueba). Integrar el valor absoluto de la diferencia o descomponer en tramos con el signo correcto, y comprobar que el área final es positiva y coherente con un esbozo.
En probabilidad condicionada y distribuciones, el alumno confunde P(A|B) con P(B|A) o con P(A∩B), y en problemas de distribución normal estandariza mal (usa la desviación típica en lugar de la varianza o invierte el signo de z), obteniendo probabilidades fuera de [0,1] o complementarias.
La notación condicional se lee como una multiplicación y no se construye el árbol o la tabla de contingencia; en la normal se memoriza z=(x-μ)/σ sin entender que se tipifica restando la media y dividiendo por la desviación típica, y no se usa la simetría de la curva.
What to do instead
Escribir siempre la definición P(A|B)=P(A∩B)/P(B) y organizar los datos en una tabla de doble entrada o árbol antes de calcular. En la normal, dibujar la campana, sombrear el área pedida, tipificar con z=(x-μ)/σ y usar la simetría Φ(-z)=1-Φ(z); comprobar que el resultado está entre 0 y 1.