PAU Mathematics II (Cantabria) flashcards

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Matriz invertible

Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero; en ese caso existe A⁻¹ y se cumple A·A⁻¹ = I.

Determinante de un producto

Para matrices cuadradas del mismo orden, det(AB) = det(A)·det(B). Esta propiedad permite relacionar la invertibilidad de un producto con la de sus factores.

Rango por menores

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que contiene. Coincide con el número de filas linealmente independientes.

Teorema de Rouché–Frobenius

Un sistema Ax = b es compatible si y solo si rango(A) = rango(A|b). Si además ese rango iguala el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

Regla de Cramer

Si det(A) ≠ 0, la solución de Ax = b es xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), donde Aᵢ es A con la columna i sustituida por el vector b.

Autovalor y autovector

λ es autovalor de A si existe un vector no nulo v con Av = λv. Los autovalores se obtienen resolviendo det(A − λI) = 0.

Producto vectorial

u × v es un vector perpendicular a u y a v cuyo módulo es |u||v|sen θ. Su módulo coincide con el área del paralelogramo determinado por ambos vectores.

Producto mixto y coplanariedad

El producto mixto u · (v × w) se calcula como un determinante 3×3. Vale cero exactamente cuando los tres vectores son coplanarios.

Ecuación general del plano

Un plano se escribe ax + by + cz = d, donde (a, b, c) es un vector normal perpendicular al plano. Un punto y dos vectores directores no paralelos lo determinan.

Distancia punto-plano

Para el plano ax + by + cz = d y el punto (x₀, y₀, z₀), la distancia es |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| dividido entre la raíz de a² + b² + c².

Distancia punto-recta

Con A un punto de la recta y v su vector director, la distancia de P a la recta es |AP × v|/|v|, es decir, el área del paralelogramo dividida entre |v|.

Rectas que se cruzan

Dos rectas no paralelas se cruzan cuando el producto mixto de sus vectores directores y el vector que une un punto de cada una es distinto de cero.

Continuidad en un punto

f es continua en x = a cuando existe f(a), existe el límite de f en a y ambos valores coinciden. Fallar cualquiera de las tres condiciones produce discontinuidad.

Discontinuidad evitable

Ocurre cuando el límite lateral existe y es finito pero no coincide con f(a) o f(a) no está definida. Se elimina redefiniendo el valor de la función en ese punto.

Teorema de Bolzano

Si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos un c en (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Weierstrass

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su valor máximo y su valor mínimo absolutos, que pueden buscarse entre extremos y puntos críticos.

Indeterminación uno elevado a infinito

Se resuelve tomando logaritmos o usando el límite (1 + u)^(1/u) → e cuando u → 0. El resultado puede ser distinto de e si el exponente no es exactamente 1/u.

Asíntota oblicua

La recta y = mx + n es asíntota oblicua si m = lím f(x)/x es finito y no nulo y n = lím (f(x) − mx) es finito, con límites en ±∞.

Recta tangente

La tangente a f en x = a es y = f(a) + f'(a)(x − a). Su pendiente es la derivada y coincide con la tasa de variación instantánea en ese punto.

Criterio de la segunda derivada

Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, f tiene un mínimo relativo en a; si f''(a) < 0, tiene un máximo relativo. Si f''(a) = 0, el criterio no decide.

Crecimiento y decrecimiento

f es creciente donde f' > 0 y decreciente donde f' < 0. Los extremos relativos candidatos son los puntos donde f' = 0 o donde f' no existe.

Punto de inflexión

Es un punto donde cambia la concavidad de la función. Se localiza entre los puntos donde f'' = 0 o no existe y donde f'' cambia de signo.

Optimización con restricción

Consiste en expresar la cantidad a optimizar en una sola variable usando la restricción, derivar, igualar a cero y comprobar el tipo de extremo con la segunda derivada.

Integración por partes

Fórmula ∫u dv = uv − ∫v du. Se elige u como la función que se simplifica al derivar, siguiendo el orden inversas, logarítmicas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales.

Cambio de variable en integrales

Se aplica ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(t)dt con t = g(x). En integrales definidas hay que transformar también los límites de integración.

Teorema fundamental del cálculo

Si F es una primitiva de f, entonces ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Relaciona la integral definida con la función primitiva evaluada en los extremos.

Área entre dos curvas

Se calcula como ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx, donde a y b son los puntos de corte. Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, hay que dividir la integral.

Volumen de revolución

Al girar y = f(x) alrededor del eje OX entre a y b, el volumen es V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx, usando el método de los discos.

Probabilidad condicionada

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), definida si P(B) > 0. Dos sucesos son independientes cuando P(A ∩ B) = P(A)·P(B), equivalente a P(A|B) = P(A).

Teorema de Bayes

Permite calcular P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)P(Aᵢ)/P(B), donde P(B) se obtiene con la probabilidad total sobre una partición del espacio muestral.

Distribución binomial

B(n, p) modela el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p. Su función de probabilidad es C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con media np.

Tipificación de la normal

Si X sigue N(μ, σ), entonces Z = (X − μ)/σ sigue N(0, 1). Así se usan las tablas de la normal estándar para calcular probabilidades de X.