PAU Mathematics II (Cantabria) cheat sheet

Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si det(A) ≠ 0; entonces A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A), donde adj(A) es la matriz de cofactores.

Propiedades del determinante: det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) para A de orden n; det(A⁻¹) = 1/det(A).

Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es 0; intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.

Rango de A = orden del mayor menor no nulo; rango(A) = rango(Aᵀ). El sistema Ax = b es compatible si rango(A) = rango(A|b).

Regla de Rouché–Frobenius: si rango(A) = rango(A|b) = n (número de incógnitas), sistema compatible determinado; si es menor que n, compatible indeterminado con n − r grados de libertad.

Método de Cramer: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), donde Aᵢ sustituye la columna i por el vector b; solo válido si det(A) ≠ 0.

Para discutir un sistema con parámetro, calcula det(A) e iguala a 0; estudia aparte los valores que anulan el determinante usando el rango de la matriz ampliada.

A es diagonalizable si tiene n autovectores linealmente independientes; los autovalores se obtienen de det(A − λI) = 0 y los autovectores de (A − λI)v = 0.

Producto vectorial: u × v es perpendicular a u y v, con |u × v| = |u||v|sen θ; su módulo da el área del paralelogramo que determinan u y v.

Producto mixto [u, v, w] = u · (v × w) es el determinante de los tres vectores; vale 0 si y solo si son coplanarios, y su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo.

Ecuación del plano: ax + by + cz = d con vector normal n = (a, b, c); un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos.

Distancia de un punto P₀ a un plano π: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| / √(a² + b² + c²).

Distancia de un punto P a una recta de punto A y vector director v: d = |AP × v| / |v|.

Ángulo entre dos rectas o entre recta y plano: usa el módulo del producto escalar entre vectores directores; entre recta y plano emplea sen θ = |u · n| / (|u||n|).

Posiciones relativas de recta y plano: sustituye la recta en la ecuación del plano; si se obtiene una identidad, la recta está contenida; si una contradicción, son paralelos.

Dos rectas se cruzan si no son paralelas y el producto mixto de sus vectores directores y el vector entre sus puntos es distinto de 0.

Una función es continua en x = a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden; la continuidad en un punto exige las tres condiciones simultáneamente.

Una discontinuidad evitable se corrige redefiniendo f(a); una de salto tiene límites laterales finitos distintos; una asintótica tiene algún límite lateral infinito.

Teorema de Bolzano: si f es continua en [a, b] y f(a)·f(b) < 0, existe al menos un c en (a, b) con f(c) = 0.

Teorema de Weierstrass: toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza su máximo y su mínimo absolutos en ese intervalo.

Indeterminaciones: 0/0 y ∞/∞ se resuelven con L'Hôpital o factorizando; 0·∞ se transforma en cociente; 1^∞, 0⁰ e ∞⁰ se resuelven con logaritmos o la fórmula lím (1 + u)^(1/u) = e.

Para límites en el infinito de cocientes de polinomios, compara grados: si el numerador tiene mayor grado, el límite es ±∞; si es menor, 0; si son iguales, el cociente de coeficientes líderes.

Asíntota vertical en x = a si algún límite lateral es infinito; asíntota horizontal si el límite en ±∞ es finito; asíntota oblicua y = mx + n si m = lím f(x)/x es finito y no nulo y n = lím (f(x) − mx) es finito.

El dominio de f ∘ g exige que x esté en el dominio de g y que g(x) esté en el dominio de f; en funciones con raíces, el radicando debe ser no negativo.

f'(a) = lím [f(a + h) − f(a)]/h; la derivada es la pendiente de la recta tangente y = f(a) + f'(a)(x − a).

Reglas: (uv)' = u'v + uv'; (u/v)' = (u'v − uv')/v²; (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x); (e^u)' = u'e^u; (ln u)' = u'/u.

Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, hay mínimo relativo en a; si f''(a) < 0, máximo relativo; si f''(a) = 0, hay que estudiar el signo de f' alrededor de a.

f es creciente donde f' > 0 y decreciente donde f' < 0; los extremos relativos candidatos son los puntos con f' = 0 o donde f' no existe.

Concavidad: f es cóncava hacia arriba donde f'' > 0 y hacia abajo donde f'' < 0; hay punto de inflexión donde f'' cambia de signo.

Optimización: expresa la magnitud a optimizar en una sola variable usando la restricción, deriva, iguala a 0 y comprueba con la segunda derivada o el signo de la derivada.

Regla de L'Hôpital: si el límite presenta 0/0 o ∞/∞, lím f/g = lím f'/g' siempre que este último exista; puede aplicarse repetidamente.

Teorema de Rolle: si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), existe c en (a, b) con f'(c) = 0; el teorema del valor medio generaliza esta idea.

Primitivas inmediatas: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣdx = eˣ + C; ∫cos x dx = sen x + C; ∫sen x dx = −cos x + C.

Integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du; se elige u como la función que se simplifica al derivar (orden ILATE: inversas, logarítmicas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales).

Cambio de variable: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(t)dt con t = g(x); hay que ajustar los límites de integración si la integral es definida.

Integrales de funciones racionales: si el numerador tiene grado mayor o igual, divide primero; después descompón en fracciones simples según las raíces del denominador.

Teorema fundamental del cálculo: si F es una primitiva de f, ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a); la derivada de ∫ₐˣ f(t)dt es f(x).

Área entre dos curvas: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx, donde a y b son los puntos de corte; hay que dividir el intervalo si las curvas se cruzan.

Volumen de revolución alrededor del eje OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx; alrededor del eje OY con el método de los discos: V = π∫ [g(y)]²dy.

Si f es impar, ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0; si f es par, ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx.

Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) si P(B) > 0; dos sucesos son independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Teorema de la probabilidad total: P(B) = Σ P(B|Aᵢ)P(Aᵢ) para una partición {Aᵢ}; teorema de Bayes: P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)P(Aᵢ)/P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(Aᶜ) = 1 − P(A); P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B).

Distribución binomial B(n, p): P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con media np y varianza np(1 − p); modela el número de éxitos en n ensayos independientes.

Distribución normal N(μ, σ): tipifica con Z = (X − μ)/σ para usar la tabla de la normal estándar; la tabla suele dar P(Z ≤ z) para z ≥ 0.

Simetría de la normal: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z); P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a).

Aproximación binomial por normal: si np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5, usa N(np, √(np(1 − p))) con corrección por continuidad ±0,5.

Medidas de dispersión: varianza = E[X²] − (E[X])²; desviación típica = √varianza; el coeficiente de variación σ/μ permite comparar dispersiones relativas.

Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si det(A) ≠ 0; entonces A⁻¹ = adj(A)ᵀ/det(A).

det(AB) = det(A)·det(B); det(Aᵀ) = det(A); det(kA) = kⁿ·det(A) para A de orden n.

Rango de A = orden del mayor menor no nulo; el sistema Ax = b es compatible si rango(A) = rango(A|b).

Regla de Rouché–Frobenius: si rango(A) = rango(A|b) = n, compatible determinado; si es menor que n, compatible indeterminado.

Método de Cramer: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), válido solo si det(A) ≠ 0.

Para discutir un sistema con parámetro, iguala det(A) a 0 y estudia aparte esos valores con el rango de la matriz ampliada.

Producto vectorial: u × v es perpendicular a u y v, con |u × v| = |u||v|sen θ; su módulo da el área del paralelogramo.

Producto mixto [u, v, w] = u · (v × w); vale 0 si y solo si los tres vectores son coplanarios.

Ecuación del plano: ax + by + cz = d con vector normal n = (a, b, c).

Distancia de un punto P₀ a un plano: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| / √(a² + b² + c²).

Distancia de un punto P a una recta de punto A y vector director v: d = |AP × v| / |v|.

Ángulo entre recta y plano: sen θ = |u · n| / (|u||n|), con u director de la recta y n normal del plano.

Dos rectas se cruzan si no son paralelas y el producto mixto de sus directores y el vector entre sus puntos es distinto de 0.

f es continua en a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden.

Discontinuidad evitable: el límite existe pero no coincide con f(a); de salto: límites laterales finitos distintos; asintótica: algún límite lateral es infinito.

Teorema de Bolzano: si f es continua en [a, b] y f(a)·f(b) < 0, existe c en (a, b) con f(c) = 0.

Teorema de Weierstrass: una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza máximo y mínimo absolutos.

Indeterminación 1^∞: se resuelve con logaritmos o con lím (1 + u)^(1/u) = e.

En cocientes de polinomios en el infinito, compara grados: mayor grado en el numerador da ±∞; menor, 0; iguales, cociente de coeficientes líderes.

Asíntota oblicua y = mx + n con m = lím f(x)/x finito y no nulo y n = lím (f(x) − mx) finito.

f'(a) = lím [f(a + h) − f(a)]/h; recta tangente: y = f(a) + f'(a)(x − a).

Reglas: (uv)' = u'v + uv'; (u/v)' = (u'v − uv')/v²; (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x).

Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, hay mínimo relativo en a; si f''(a) < 0, máximo relativo.

f es creciente donde f' > 0 y decreciente donde f' < 0; los extremos candidatos son los puntos con f' = 0 o donde f' no existe.

f es cóncava hacia arriba donde f'' > 0; hay punto de inflexión donde f'' cambia de signo.

Optimización: usa la restricción para dejar una sola variable, deriva, iguala a 0 y comprueba con la segunda derivada.

Regla de L'Hôpital: en indeterminaciones 0/0 o ∞/∞, lím f/g = lím f'/g' si este último existe.

Primitivas: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫eˣdx = eˣ + C.

Integración por partes: ∫u dv = uv − ∫v du; se elige u como la función que se simplifica al derivar.

Cambio de variable: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(t)dt con t = g(x); ajusta los límites si la integral es definida.

Funciones racionales: divide si el numerador tiene grado mayor o igual y descompón en fracciones simples según las raíces del denominador.

Teorema fundamental del cálculo: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) si F es una primitiva de f.

Área entre curvas: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx, con a y b los puntos de corte; divide el intervalo si las curvas se cruzan.

Volumen de revolución alrededor de OX: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx.

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) si P(B) > 0; A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Probabilidad total: P(B) = Σ P(B|Aᵢ)P(Aᵢ); Bayes: P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)P(Aᵢ)/P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(Aᶜ) = 1 − P(A).

Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con media np y varianza np(1 − p).

Normal N(μ, σ): tipifica con Z = (X − μ)/σ para usar la tabla de la normal estándar.

Simetría normal: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z); P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a).

Varianza = E[X²] − (E[X])²; desviación típica = √varianza; coeficiente de variación = σ/μ.