PAU Mathematics II (Cantabria) key terms

Matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas de una matriz dada; si A tiene orden m×n, su traspuesta Aᵀ tiene orden n×m y coincide con A solo en matrices simétricas.

Número escalar asociado a una matriz cuadrada que indica si es invertible: es distinto de cero cuando las filas o columnas son linealmente independientes y vale cero cuando son dependientes.

Matriz A⁻¹ que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Solo existe si el determinante de A es no nulo, y se calcula como la traspuesta de la matriz adjunta dividida entre el determinante.

Matriz formada por los cofactores de cada elemento, colocados en su posición original o traspuestos según el convenio; se usa para calcular la inversa mediante la fórmula A⁻¹ = adj(A)ᵀ/|A|.

Determinante de la submatriz que resulta al suprimir la fila i y la columna j de una matriz cuadrada. Junto con el signo (−1)^(i+j) forma el cofactor usado en el desarrollo por adjuntos.

Orden del mayor menor no nulo de la matriz; equivale al número máximo de filas o columnas linealmente independientes y determina la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, aᵢⱼ = aⱼᵢ para todo par de índices. Sus valores propios son reales y sus vectores propios asociados a valores distintos son ortogonales.

Proceso por el cual se expresa una matriz cuadrada como A = P·D·P⁻¹, donde D es diagonal con los valores propios y P tiene por columnas los vectores propios correspondientes. Requiere suficientes vectores propios independientes.

Escalar λ para el que existe un vector no nulo v tal que A·v = λ·v. Se obtiene resolviendo la ecuación característica |A − λI| = 0, que es un polinomio de grado igual al orden de la matriz.

Vector no nulo v que al multiplicarlo por la matriz A da un múltiplo escalar de sí mismo: A·v = λ·v. Define una dirección que la transformación lineal no modifica, solo escala.

Criterio que clasifica un sistema lineal comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada: si son distintos es incompatible; si coinciden y es menor que el número de incógnitas es compatible indeterminado.

Sistema lineal con infinitas soluciones, que se expresan en función de uno o varios parámetros libres. Ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas.

Método para resolver sistemas compatibles determinados con matriz de coeficientes invertible: cada incógnita se obtiene como cociente entre el determinante de la matriz con la columna sustituida por los términos independientes y el determinante original.

Operación entre dos vectores del espacio que da otro vector perpendicular a ambos, cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman y cuya dirección sigue la regla de la mano derecha. Se anula si son paralelos.

Operación que asigna a dos vectores un número real igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Permite calcular ángulos, proyecciones y comprobar la perpendicularidad cuando vale cero.

Escalar que resulta de multiplicar escalarmente un vector por el producto vectorial de otros dos. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores, y es nulo si son coplanarios.

Condición de tres o más vectores cuando pertenecen a un mismo plano; se comprueba viendo que el producto mixto es cero o que el rango de la matriz de sus componentes es menor que tres.

Expresión ax + by + cz + d = 0 donde (a, b, c) es un vector normal al plano. Permite identificar el plano y calcular distancias y ángulos con rectas y con otros planos.

Vector perpendicular a un plano o a una recta en el espacio; en el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 es (a, b, c). Sirve para calcular ángulos y distancias.

Expresión de una recta mediante un punto y un vector director: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t·(v₁, v₂, v₃), con t real. Cada valor de t da un punto distinto de la recta.

Vector que marca la dirección de una recta en el espacio; cualquier múltiplo no nulo del mismo sirve igualmente. Junto con un punto determina la recta de forma única.

Longitud del segmento perpendicular desde el punto al plano, calculada como |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| dividido entre la raíz cuadrada de a² + b² + c², usando la ecuación general del plano.

Ángulo formado por dos rectas a partir de sus vectores directores mediante el coseno del producto escalar; entre recta y plano se usa el seno, y entre planos el ángulo de sus vectores normales.

Clasificación de cómo se cortan, son paralelos o coinciden dos rectas o una recta y un plano, o tres planos entre sí. Se estudia con rangos de matrices o resolviendo el sistema asociado.

Valor L al que se aproximan las imágenes f(x) cuando x se acerca a un punto a, sin importar lo que ocurra en a. Se calcula con las propiedades algebraicas de límites y técnicas como la regla de L'Hôpital.

Propiedad de una función en un punto cuando existen el límite y el valor de la función y coinciden. En un intervalo exige continuidad en todos sus puntos; las discontinuidades pueden ser evitables, de salto o asintóticas.

Expresión como 0/0, ∞/∞, 0·∞ o ∞ − ∞ que aparece al sustituir en un límite y no permite concluir su valor. Se resuelve factorizando, usando equivalentes, L'Hôpital o conjugados.

Técnica para resolver límites con indeterminaciones 0/0 o ∞/∞ que consiste en derivar por separado numerador y denominador y volver a calcular el límite del cociente resultante.

Recta a la que se aproxima indefinidamente la gráfica de una función. Puede ser vertical (donde el límite es infinito), horizontal (límite finito en el infinito) u oblicua (cuando f(x) − (mx + n) tiende a cero).

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto interior donde se anula. Se usa para justificar raíces.

Tasa instantánea de cambio de una función respecto a la variable, definida como el límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente.

Regla para derivar funciones compuestas: la derivada de f(g(x)) es f'(g(x))·g'(x). Permite derivar expresiones como sen(x²), ln(3x) o potencias de funciones.

Recta que toca a la curva en un punto con la misma pendiente que la derivada en ese punto. Su ecuación es y − f(a) = f'(a)·(x − a) y sirve para aproximaciones lineales.

Proceso de encontrar máximos y mínimos de una función, a menudo bajo una restricción. Se estudian los puntos críticos con la primera o segunda derivada y se comprueba que pertenecen al dominio válido.

Punto donde la curva cambia de concavidad, es decir, la segunda derivada cambia de signo. En él la recta tangente atraviesa la gráfica y la segunda derivada puede anularse o no existir.

Estudio completo de una función para dibujarla: dominio, cortes con los ejes, simetrías, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos y concavidad. Se apoya en las derivadas primera y segunda.

Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c interior donde f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a), es decir, la tangente es paralela a la cuerda que une los extremos.

Conjunto de todas las primitivas de una función, expresado como F(x) + C, donde F'(x) = f(x) y C es una constante arbitraria. Se obtiene con técnicas como sustitución, partes o fracciones simples.

Número que representa el área con signo entre la gráfica de una función y el eje X en un intervalo [a, b]. Es el límite de las sumas de Riemann y puede ser negativa si la función está bajo el eje.

Fórmula que relaciona la integral definida con una primitiva: la integral entre a y b de f es F(b) − F(a) si F' = f. Es el método estándar para calcular áreas e integrales definidas.

Región delimitada por dos funciones; su área se calcula integrando el valor absoluto de la diferencia f(x) − g(x) entre los puntos de corte, o la diferencia de la función que va por encima menos la que va por debajo.

Probabilidad de que ocurra un suceso A sabiendo que ya ha ocurrido otro B, definida como P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) cuando P(B) es mayor que cero. Es la base del teorema de Bayes.

Fórmula que permite calcular la probabilidad de una causa dado un efecto observado: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B). Se usa con el teorema de la probabilidad total cuando hay varias causas posibles.

Si un conjunto de sucesos incompatibles cubre todo el espacio muestral, la probabilidad de un suceso B es la suma de las probabilidades de cada intersección, calculadas como P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ).

Dos sucesos son independientes cuando P(A ∩ B) = P(A)·P(B), lo que equivale a que la probabilidad condicionada coincida con la no condicionada. No debe confundirse con la incompatibilidad.

Modelo que cuenta el número de éxitos en n ensayos independientes con la misma probabilidad p de éxito. Su función de probabilidad es C(n, k)·pᵏ·(1−p)^(n−k) y su media es n·p.

Distribución continua simétrica con forma de campana, determinada por su media μ y su desviación típica σ. Se tipifica con z = (x − μ)/σ para usar tablas de la normal estándar.

Transformación de una variable normal N(μ, σ) en la normal estándar N(0, 1) mediante z = (x − μ)/σ, lo que permite consultar una única tabla de probabilidades acumuladas.

Uso de la distribución normal para aproximar una binomial B(n, p) cuando n es grande y p no está cerca de 0 ni de 1, con media n·p y desviación típica √(n·p·(1−p)), aplicando corrección por continuidad.