Trayectorias de drones y barrera virtual
Un dron de reparto sigue la trayectoria recta r: (x,y,z)=(1,1,0)+t(2,-1,1) y otro de inspección sigue s: (x,y,z)=(0,2,1)+u(1,1,-1), con t,u en segundos y coordenadas en decámetros. El controlador de tráfico aéreo debe decidir si ambas rutas se cruzan, a qué distancia mínima pasan y con qué ángulo se cruzan. Si la distancia mínima es inferior a 2 dam, se activa una alarma; si es igual o superior, no. Además, se quiere definir una barrera virtual plana que contenga la trayectoria r y sea paralela a s, y comprobar si esa barrera corta a la trayectoria s. No se dispone de una representación gráfica fiable; hay que razonar con vectores, resolver el sistema de intersección y justificar la posición relativa. Los drones no modifican su velocidad.
1. Estudia la posición relativa de r y s. ¿Se cortan, son paralelas o se cruzan sin cortarse?
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Igualamos las coordenadas:
1+2t=u, 1-t=2+u, t=1-u.
De la primera, u=1+2t. Sustituyendo en la segunda: 1-t=2+1+2t, es decir, -3t=2, luego t=-2/3 y u=-1/3. Con esos valores, la tercera ecuación daría t=1-u=4/3, que contradice t=-2/3. Por tanto, no existe punto de corte.
Los vectores directores son v=(2,-1,1) y w=(1,1,-1). No son proporcionales: si lo fueran, 2/1=-1/1=1/(-1), lo cual es falso. Al no ser paralelas y no cortarse, las rectas se cruzan en el espacio.
2. Calcula la distancia mínima entre las dos trayectorias y decide si se activa la alarma de 2 dam.
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La distancia entre rectas que se cruzan es
d=|(Q-P)·(v×w)|/|v×w|,
donde P=(1,1,0), Q=(0,2,1), v=(2,-1,1) y w=(1,1,-1).
Calculamos Q-P=(-1,1,1) y el producto vectorial:
v×w=(0,3,3).
Su módulo es |v×w|=√(0^2+3^2+3^2)=√18=3√2. El producto escalar vale
(-1,1,1)·(0,3,3)=0+3+3=6.
Por tanto, d=6/(3√2)=2/√2=√2≈1,41 dam. Como 1,41<2, la alarma se activa: las trayectorias pasan demasiado cerca aunque no se corten.
3. Halla el ángulo entre las trayectorias y el plano que contiene r y es paralelo a s. Interpreta si la barrera virtual corta a s.
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El coseno del ángulo entre las rectas es
cos θ=|v·w|/(|v||w|)=|2·1+(-1)·1+1·(-1)|/(√6·√3)=|0|/√18=0.
Por tanto, θ=90°: las trayectorias son perpendiculares en dirección, aunque no se corten.
Un plano que contiene r y es paralelo a s tiene como vector normal n=v×w=(0,3,3), o simplificado (0,1,1). Usando P=(1,1,0):
0(x-1)+1(y-1)+1(z-0)=0, es decir, y+z=1.
La recta s pasa por Q=(0,2,1), que cumple y+z=2+1=3≠1. Además, su vector director w=(1,1,-1) es perpendicular a n, pues (0,1,1)·(1,1,-1)=0. Así, s es paralela al plano pero no está contenida en él: la barrera virtual no corta a la trayectoria s.