Calibración de potencia en una función definida a trozos
La potencia demandada por una línea de producción durante las cuatro primeras horas de un turno se modela, en MW, mediante f(x) = { x^2 + a x + b, si 0≤x≤1; -x^2 + 6x - 4, si 1<x≤4 }, donde x es el tiempo en horas. Por un cambio de tarifa, los parámetros a y b deben calibrarse para que la potencia no presente un salto ni un cambio brusco de pendiente en x=1; es decir, se exige continuidad y derivabilidad en ese instante. Después de calibrar, el jefe de planta quiere conocer la potencia máxima y mínima del turno, los instantes en que se alcanzan y la tendencia en x=2. También pide una estimación lineal de f(2,1) para programar una alarma. No se permite ajustar a ojo: hay que plantear las ecuaciones de continuidad y derivabilidad y comprobar los extremos del intervalo, no solo los puntos críticos.
1. Determina a y b para que f sea continua y derivable en x=1. Comprueba que con esos valores no hay salto ni pico.
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Continuidad en x=1: el límite por la izquierda es 1^2+a·1+b=1+a+b. El valor por la derecha es -1^2+6·1-4=1. Igualando: 1+a+b=1, luego a+b=0.
Derivabilidad: para x<1, f'(x)=2x+a, y su límite en 1 es 2+a. Para x>1, f'(x)=-2x+6, y su límite en 1 es 4. Igualando: 2+a=4, luego a=2. De a+b=0 se obtiene b=-2.
Con a=2 y b=-2, la función es f(x)=x^2+2x-2 para 0≤x≤1 y f(x)=-x^2+6x-4 para 1<x≤4. En x=1 ambas ramas valen 1 y ambas derivadas laterales valen 4: no hay salto ni pico.
2. Con a=2 y b=-2, estudia la monotonía y calcula los extremos absolutos de f en [0,4]. Indica en qué instantes se alcanzan.
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En [0,1], f'(x)=2x+2>0, así que f es estrictamente creciente.
En (1,4], f'(x)=-2x+6. Se anula en x=3. Es positiva para x<3 y negativa para x>3: f crece en (1,3) y decrece en (3,4].
Valores relevantes:
f(0)=-2, f(1)=1, f(3)=-9+18-4=5, f(4)=-16+24-4=4.
El máximo absoluto es 5 MW en x=3 h. El mínimo absoluto es -2 MW en x=0 h. No basta con mirar el punto crítico x=3: hay que comparar también los extremos del intervalo. En x=1 no hay extremo, solo un cambio de rama suave.
3. Halla la recta tangente a f en x=2 y úsala para estimar f(2,1). ¿La estimación es por defecto o por exceso? Compara con el valor exacto.
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En x=2, f(2)=-4+12-4=4 y f'(2)=-4+6=2. La recta tangente es
y=4+2(x-2)=2x.
La estimación lineal es y(2,1)=2·2,1=4,2 MW.
El valor exacto es f(2,1)=-(2,1)^2+6·2,1-4=-4,41+12,6-4=4,19 MW. La estimación es por exceso en 0,01 MW.
Esto era previsible porque en (1,4] se tiene f''(x)=-2<0: la función es cóncava y su gráfica queda por debajo de la recta tangente. La aproximación es buena para un intervalo pequeño, pero no debe usarse lejos de x=2.