Pintura y volumen de una pieza parabólica
Un taller de diseño construye una pieza decorativa a partir de la región plana limitada por la parábola y=x^2 y la recta y=2x, con x medido en metros. La región se cierra en los dos puntos de corte, que el diseñador debe calcular. La cara frontal se pintará en dos colores de igual superficie, separados por una línea vertical x=k; el cliente exige que cada color cubra exactamente la mitad del área. Además, la pieza volumétrica se obtiene girando toda la región alrededor del eje x, y el taller necesita saber el volumen de material antes de pedir la resina. No se acepta una estimación por conteo de cuadrícula: hay que plantear la integral definida, justificar qué curva queda arriba y comprobar que k está dentro del intervalo. El presupuesto de pintura se calcula por metro cuadrado y el de resina por metro cúbico.
1. Calcula los puntos de corte y el área de la región limitada por y=x^2 y y=2x.
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Igualamos x^2=2x, es decir, x(x-2)=0. Los cortes son x=0 y x=2.
En el intervalo (0,2), por ejemplo en x=1, la recta vale 2 y la parábola vale 1; por tanto, la recta y=2x queda por encima de y=x^2.
El área es
A=∫_0^2 (2x-x^2) dx = [x^2-x^3/3]_0^2 = 4-8/3 = 4/3 m².
El resultado es positivo y coherente: la región es un segmento parabólico pequeño, no una superficie negativa.
2. Halla el valor de k para que la recta vertical x=k divida la región en dos zonas de igual área. Comprueba que k está entre 0 y 2.
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La mitad del área total es 2/3 m². Imponemos que el área desde 0 hasta k sea 2/3:
∫_0^k (2x-x^2) dx = k^2-k^3/3 = 2/3.
Multiplicando por 3: 3k^2-k^3=2, o bien k^3-3k^2+2=0.
k=1 es raíz: 1-3+2=0. Factorizando, (k-1)(k^2-2k-2)=0. Las otras raíces son k=1±√3, que valen aproximadamente 2,73 y -0,73; ninguna está en [0,2]. Por tanto, la única solución válida es k=1 m.
La línea x=1 deja a cada lado 2/3 m². La comprobación de que k pertenece al intervalo es imprescindible: una raíz algebraica fuera de [0,2] no divide la región real.
3. Calcula el volumen de la pieza generada al girar la región alrededor del eje x.
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Al girar alrededor del eje x, el radio exterior lo marca la recta y=2x y el radio interior la parábola y=x^2. El volumen es
V=π∫_0^2 [(2x)^2-(x^2)^2] dx = π∫_0^2 (4x^2-x^4) dx.
Integrando:
V=π[4x^3/3-x^5/5]_0^2 = π(32/3-32/5).
El paréntesis vale (160-96)/15=64/15. Por tanto,
V=64π/15 m³ ≈ 13,40 m³.
Es razonable que el volumen sea mayor que el área frontal: al girar, la región barre un sólido hueco con radio exterior 4 m en el extremo x=2.