Álgebra lineal: matrices, determinantes y sistemas
El bloque de Álgebra lineal de la PAU de Cantabria se centra en el cálculo con matrices, el uso de determinantes y la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, con o sin parámetro. Es el bloque más mecánico y el que aporta más puntos seguros cuando el método está automatizado.
Reglas y conceptos que hay que dominar
- Operaciones con matrices: el producto no es conmutativo y solo existe si el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda. Propiedades útiles: (AB)^T = B^T A^T y (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}.
- Determinantes: det(AB) = det A · det B; det(kA) = k^n det A en dimensión n; si dos filas son proporcionales o hay una fila nula, el determinante es 0; en una matriz triangular es el producto de la diagonal.
- Rango: se obtiene por eliminación de Gauss o por menores; rango(A) = rango(A^T).
- Inversa: A^{-1} = adj(A)^T / det(A), válida solo si det(A) ≠ 0. También se calcula resolviendo A·X = I por Gauss.
- Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si rango(A) = rango(A|b); determinado si además coincide con el número de incógnitas; indeterminado si es menor. Un sistema homogéneo siempre es compatible y es determinado solo si det(A) ≠ 0.
- Cramer: x_i = det(A_i)/det(A), sustituyendo la columna i por la de términos independientes.
Ejemplo resuelto
Discutir según a: x+y+az=1, x+ay+z=1, ax+y+z=1. El determinante de la matriz de coeficientes es det(A) = -(a-1)²(a+2). Por tanto:
- Si a ≠ 1 y a ≠ -2, det ≠ 0: sistema compatible determinado, resoluble por Cramer.
- Si a = 1, las tres ecuaciones son x+y+z=1, el rango es 2 < 3: compatible indeterminado con dos parámetros, (1-s-t, s, t).
- Si a = -2, la suma de las tres filas de A es el vector nulo, luego rango(A)=2; en la ampliada la suma de los términos independientes es 3 ≠ 0, luego rango(A|b)=3 y el sistema es incompatible.
Errores que cuestan puntos
Discutir solo con el determinante y no estudiar los casos singulares con Rouché-Frobenius; confundir el rango de A con el de la ampliada; aplicar Cramer sin justificar det(A) ≠ 0; dejar un sistema indeterminado sin escribir la solución con parámetros; olvidar trasponer la matriz adjunta al calcular la inversa; multiplicar matrices de dimensiones incompatibles.