Geometría: vectores, rectas y planos en el espacio, distancias y ángulos
El bloque de Geometría del espacio evalúa el manejo de vectores (escalar, vectorial y mixto), la obtención de ecuaciones de rectas y planos, el estudio de posiciones relativas y el cálculo de distancias y ángulos entre puntos, rectas y planos.
Reglas y conceptos
- Producto escalar: u·v = |u||v|cos θ; ortogonalidad ⇔ u·v = 0. Sirve para ángulos y proyecciones.
- Producto vectorial: u×v es perpendicular a ambos y |u×v| es el área del paralelogramo que determinan.
- Producto mixto: [u,v,w] = u·(v×w) es el volumen del paralelepípedo; tres vectores son coplanarios si y solo si vale 0.
- Recta: punto más t·vector director (paramétricas), forma continua o intersección de dos planos.
- Plano: Ax+By+Cz+D=0, con normal n=(A,B,C). Para obtenerlo, toma un punto y dos vectores directores y haz su producto vectorial.
- Posiciones relativas: se discuten con el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada del sistema formado por las ecuaciones. Para recta y plano, sustituye la recta en el plano: una solución (se cortan), ninguna (paralelos) o infinitas (recta contenida).
- Distancias: punto-plano d = |Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²); punto-recta d = |AP×v|/|v|; entre rectas que se cruzan d = |(P2-P1)·(v1×v2)|/|v1×v2|.
- Ángulos: entre rectas, coseno con los vectores directores; entre planos, coseno con las normales; entre recta y plano, seno con director y normal.
Ejemplo resuelto
Hallar el simétrico de P(1,2,0) respecto del plano π: x+y+z=1. La recta perpendicular a π que pasa por P es (1+t, 2+t, t). Su intersección con π cumple 3+3t=1, luego t=-2/3 y M=(1/3, 4/3, -2/3). El simétrico es P' = 2M - P = (-1/3, 2/3, -4/3). Comprobación: M pertenece a π y P y P' equidistan de él en la dirección de la normal.
Errores que cuestan puntos
Usar el vector normal del plano como director de una recta perpendicular mal planteada; confundir el ángulo recta-plano (seno) con el ángulo recta-normal (coseno); no comprobar que el punto medio hallado pertenece al plano; aplicar la fórmula de rectas que se cruzan cuando en realidad son paralelas o secantes; olvidar el valor absoluto en la distancia punto-plano.