Análisis: funciones, límites y continuidad
El bloque de funciones, límites y continuidad evalúa el dominio y las propiedades básicas de una función, el cálculo de límites con todo tipo de indeterminaciones, el estudio de asíntotas y la continuidad, con frecuencia con un parámetro en una función definida a trozos.
Reglas y conceptos
- Dominio: excluye ceros del denominador, radicandos negativos en raíces de índice par y argumentos no positivos en logaritmos. La simetría (par/impar) y el recorrido ayudan a dibujar y a detectar errores.
- Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0·∞, 1^∞, 0^0, ∞^0. L'Hôpital solo es válido en 0/0 y ∞/∞ y exige derivar numerador y denominador por separado, nunca el cociente. En 1^∞ se usa lim f^g = e^{lim g(f-1)}.
- Infinitésimos equivalentes al tender x→0: sen x ~ x, tg x ~ x, 1-cos x ~ x²/2, ln(1+x) ~ x, e^x-1 ~ x. Con raíces, multiplica y divide por el conjugado.
- Asíntotas: verticales en los ceros no simplificables del denominador; horizontales según el límite en ±∞; oblicuas y = mx+n con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x)-mx), con m finito y no nulo.
- Continuidad en x=a: existe f(a), existe el límite y ambos coinciden. Tipos: evitable (límite finito distinto del valor), de salto finito (laterales finitos y distintos), de salto infinito (asíntota vertical).
- Teoremas: Bolzano (f continua en [a,b] con f(a)·f(b)<0 ⇒ existe un cero), TVI y Weierstrass (extremos absolutos en un compacto).
Ejemplo resuelto
Sea f(x) = (1-cos 2x)/x² para x ≠ 0 y f(0) = a. Como 1-cos 2x = 2sen²x y sen x ~ x, el numerador equivale a 2x², luego el límite en 0 vale 2. Con L'Hôpital: (2 sen 2x)/(2x) = sen(2x)/x → 2cos(2x)/1 = 2. Para que f sea continua en 0 hay que tomar a = 2.
Errores que cuestan puntos
Aplicar L'Hôpital sin comprobar que hay 0/0 o ∞/∞; calcular los laterales, ver que son distintos y aun así afirmar que hay continuidad; equivocarse en el signo al multiplicar por el conjugado; declarar una asíntota vertical en un cero que se cancela con el numerador; operar sin estudiar antes el dominio.