Análisis: derivadas y aplicaciones (optimización, representación)
Este bloque evalúa la derivación (incluidas la implícita y la logarítmica), las rectas tangente y normal, los teoremas de Rolle y del valor medio, la monotonía, los extremos, la curvatura y los puntos de inflexión, las asíntotas y la representación gráfica, además de problemas de optimización con parámetros.
Reglas y conceptos
- f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h)-f(a))/h. Derivable implica continua, pero el recíproco es falso: |x| en x=0.
- Reglas: producto, cociente y cadena; cuidado con a^x (derivada a^x·ln a) y con ln|x| (1/x).
- Tangente en x=a: y - f(a) = f'(a)(x-a). Normal: pendiente -1/f'(a).
- Rolle: continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b) ⇒ existe c con f'(c)=0. TVM: existe c con f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).
- Monotonía: signo de f'. Hay extremo relativo si f' cambia de signo; si f'(a)=0 y f''(a)>0, hay mínimo relativo.
- Curvatura: f''>0 convexa (∪), f''<0 cóncava (∩); hay inflexión si f'' cambia de signo en el punto.
- Optimización: función objetivo, restricción, despejar una variable, derivar e igualar a cero y justificar máximo o mínimo con el signo de f' o de f''.
Ejemplo resuelto
Hallar a y b para que f(x)=x³+ax²+bx tenga un extremo relativo en x=1 y un punto de inflexión en x=2. f'(x)=3x²+2ax+b y f''(x)=6x+2a. Inflexión en x=2 ⇒ f''(2)=12+2a=0 ⇒ a=-6. Extremo en x=1 ⇒ f'(1)=3+2a+b=0 ⇒ 3-12+b=0 ⇒ b=9. Con esos valores f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3), que cambia de positiva a negativa en x=1 (máximo relativo), y f''=6x-12 cambia de signo en x=2.
Errores que cuestan puntos
Confundir extremo con inflexión por usar f'' sin mirar el cambio de signo; no comprobar que el punto crítico es realmente el máximo o mínimo pedido; olvidar la regla de la cadena en funciones compuestas; aplicar Rolle o el TVM sin verificar la continuidad y la derivabilidad; no restar f(a) al escribir la tangente.