Análisis: integrales y aplicaciones (áreas, cálculo de primitivas)
El bloque de integrales evalúa el cálculo de primitivas (inmediatas, por partes, por cambio de variable y racionales sencillas), la integral definida mediante la regla de Barrow y sus aplicaciones al cálculo de áreas entre curvas y de volúmenes de revolución.
Reglas y conceptos
- Tabla básica: potencias, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas; en particular ∫f'/f dx = ln|f|.
- Integración por partes: ∫u dv = u·v - ∫v du. Conviene tomar como u los logaritmos, arcos y polinomios, y como dv lo que se integra con facilidad.
- Cambio de variable: sustituye, cambia dx por la diferencial y deshaz el cambio en la indefinida; en la definida, cambia también los límites.
- Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, divide primero; después, fracciones simples con raíces reales.
- Barrow: ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a).
- Área entre y=f(x) e y=g(x): halla los cortes x1<x2<..., integra |f-g| en cada subintervalo. El área es siempre positiva.
- Volumen de revolución alrededor del eje X: V = π∫_a^b f(x)²dx.
- Función integral: si F(x)=∫_a^x f(t)dt, entonces F'(x)=f(x) (teorema fundamental del cálculo).
Ejemplo resuelto
Área encerrada por y=x² e y=x+2. Los cortes cumplen x²=x+2, es decir x=-1 y x=2. En (-1,2) la recta está por encima de la parábola, así que A = ∫{-1}^{2}(x+2-x²)dx = [x²/2 + 2x - x³/3]{-1}^{2} = 10/3 - (-7/6) = 9/2 unidades cuadradas.
Errores que cuestan puntos
Olvidar restar F(a) en Barrow; dar un área negativa en vez de interpretar que las funciones están invertidas o que hay que dividir el recinto; no cambiar los límites al hacer un cambio de variable en una integral definida; olvidar dividir por la derivada interna al integrar f(ax+b); confundir ∫f² con (∫f)²; no buscar todos los puntos de corte antes de plantear el área.